Координатный метод в стереометрии

1) Координаты вектора определяются через координаты начала и конца вектора

Координаты начала вектора $A(x_A;y_A;z_A)$ , координаты конца вектора $B(x_B;y_B;z_B)$ .

Координаты вектора $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$

2) Угол между векторами $\overrightarrow{a}(x_a;y_a;z_a)$ и $\overrightarrow{b}(x_b;y_b;z_b)$

определяется с помощью формулы скалярного произведения: $\cos \varphi =\frac{\vec{a}\: \vec{b}}{\left | a \right |\left | b \right |}=\frac{x_ax_b+y_ay_b+z_az_b}{\sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}\cdot \sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}$

Угол между прямыми, содержащими векторы $\cos \varphi =\frac{\left | \vec{a}\: \vec{b} \right |}{\left | a \right |\left | b \right |}= \frac{\left | x_a x_b +y_a y_b +z_a z_b \right |}{\sqrt{x_a\, ^2+y_a\, ^2+z_a\, ^2}\sqrt{x_b\, ^2+y_b\, ^2+z_b\, ^2}}$

3) Положение плоскости в пространстве характеризуется вектором-нормалью $\vec{n}(A;B;C)$ к плоскости.

Если известны три точки плоскости $K(x_1;y_1;z_1), M(x_2;y_2;z_2), N(x_3;y_3;z_3)$ , то по ним можно определить координаты нормали $\vec{n}(A;B;C)$

Для этого необходимо решить систему уравнений $\left\{\begin{matrix} A\, x_1+B\, y_1+C\, z_1+D=0\\ A\, x_2+B\, y_2+C\, z_2+D=0\\ A\, x_3+B\, y_3+C\, z_3+D=0 \end{matrix}\right.$ , где вместо одной из переменных (обычно D) берут любое число, не равное 0.

Уравнение плоскости задается уравнением $A\, x+B\, y+C\, z+D=0$

4) Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки с координатами $x_0,y_0,z_0$ до плоскости с нормалью $\vec{n}(A;B;C)$

определяется по формуле $h=\frac{\left | A\, {x_0}+B\, {y_0}+C\, {z_0}+D\right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

5) Угол между плоскостями равен углу между нормалями $\vec{n_1},\vec{n_2}$ к плоскостям:

$\cos \varphi =\frac{\left | \vec{n_1}\, \vec{n_1} \right |}{\left | \vec{n_1} \right |\, \left | \vec{n_2} \right |}$

Угол между плоскостями по определению меньше 90 градусов, это обеспечивается положительным значением косинуса в формуле.

6) Угол между прямой и плоскостью определяется с помощью вектора $\vec{a}$ , лежащего на прямой и нормалью $\vec{n}$ к плоскости:

$\sin \varphi =\frac{\left | \vec{n}\, \vec{a}\right |}{\left | \vec{n} \right |\left | \vec{a} \right |}$

7) Площадь ортогональной проекции многоугольника ${S_\: {\Pi P}} = {S_\, M} \cdot \cos \varphi$ , где ${S_\: {\Pi P}}$ — площадь проекции многоугольника, ${S_\: {M}}$ — площадь многоугольника,

$\cos \varphi$ — косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Площадь многоугольника находится по площади его проекции ${S_{\, M}} =\frac{S_{\, \Pi P}}{\cos \varphi }$

8) Уравнение прямой в пространстве

Если прямая параллельна вектору $\vec{P}(x_P;y_P;z_P)$ и проходит через точку $M(x_M;y_M;z_M)$ ,

то уравнение прямой задается формулой $\frac{x-x_M}{x_P}=\frac{y-y_M}{y_P}=\frac{z-z_M}{z_P}$

Все формулы

Все формулы по физике и математике

Темы по математике

Координатный метод в стереометрии

Координатный метод в стереометрии