Барометрическая формула

Барометрическая формула — определяет зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести

$\Large P=P_0\cdot \exp [\frac{Mgh}{RT}]$

Давайте теперь узнаем, откуда же получается барометрическая формула. Давление газа на некой высоте, определяется как :

$\Large P=\frac{F}{S}=\frac{\rho ghS}{S}=\rho gh$

Теперь возьмем колонну в атмосфере и выделим в ней тонкий слой воздуха высотой dh. Ясно, что такой слой вызывает изменение давления на величину dP :

$\Large dP=-\rho gdh$

Знак минус необходим для того, что с увеличением высоты давление уменьшается

Барометрическая формула

Рассматривая атмосферный воздух как идеальный газ, можно воспользоваться уравнением Менделеева — Клапейрона

$\Large PV=\nu RT=\frac{m}{M}RT$

Из этого уравнения выражаем давление

$\Large P=\frac{m}{VM}RT=\frac{\rho}{M}RT$

А теперь можно и плотность газа

$\Large \rho=\frac{MP}{RT}$

Подставляя найденную плотность газа в дифференциальное уравнение dP, мы получаем :

$\Large \frac{dP}{P}=\frac{Mg}{RT}dh$

Сделав все преобразования. мы получаем зависимость давления P от высоты подъема h. Теперь необходимо проинтегрировать обе части нашего уравнения:

$\Large\int \frac{dP}{P}=\int \frac{Mg}{RT}dh$

Проинтегрировав, у нас полечилась вот такое уравнение:

$\Large \ln P=-\frac{Mgh}{RT}+\lnP_0$

И теперь последний рывок, это взять логарифм. И у нас получится Барометрическое уравнение.

$\Large P=P_0\cdot \exp [\frac{Mgh}{RT}]$

В Формуле мы использовали :

$P$ — Давление газа (атмосферное)

$P_0$ — Давление газа над уровнем моря

$h$ — Высота над уровнем моря

$\rho$ — Плотность газа

$g=9,8$ — Ускорение свободного падения

$k=1.38\cdot10^{-23}$ — Постоянная Больцмана

$T$ — Температура

$m$ — Масса одной молекулы

$R=8.31$ — Универсальная газовая постоянная

$M$ — Молярная масса

$\nu$ — Количество вещества

$N_a=6,02\cdot10^{23}$ — Число Авогадро

Все формулы