Уравнение диффузии

Явлением диффузии называется процесс установления внутри фаз равновесного распределения концентраций.

Результатом диффузии при постоянной температуре является выравнивание химических потенциалов. В однофазной системе при постоянной температуре и при отсутствии внешних сил диффузия выравнивает концентрацию компонента фазы во всей системе. Если на систему действуют внешние силы или поддерживается градиент температуры, то в результате диффузии устанавливаются градиенты концентраций отдельных компонентов (термодиффузия, электродиффузия и другие процессы).

Уравнение диффузии в одномерном случае

Уравнение диффузии в одномерном случае (\rho =\rho \left(x\right)) в двухкомпонентной системе — это первый закон Фика:

  \[dm=-D\frac{d\rho }{dx}dSdt\ \left(1\right)\]

где dm – масса первого компонента, которая переносится за время dt через элементарную площадку dS в направлении нормали x к рассматриваемой площадке в сторону убывания плотности первого компонента, \frac{d\rho }{dx} – градиент плотности, D – коэффициент диффузии.

Если в однокомпонентной системе выделить группу молекул, выравнивание концентрации выделенных частиц по объёму сосуда называется самодиффузией. Самодиффузия тоже описывается уравнением диффузии (первым законом Фика), в котором коэффициент D- называется коэффициентом самодиффузии.

Уравнение диффузии в трехмерном случае

В случае трехмерной диффузии изменение концентрации с течением времени при постоянной температуре и отсутствии внешних сил описывается дифференциальным уравнением диффузии:

  \[\frac{\partial c}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}\left(D\frac{\partial c}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(D\frac{\partial c}{\partial y}\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(D\frac{\partial c}{\partial z}\right) \qquad (2)\]

где D- коэффициент диффузии, t- время. Если D не зависит от концентрации, то уравнение диффузии будет иметь вид:

  \[\frac{\partial c}{\partial t}=D\Delta c\ \left(3\right)\]

Уравнение (3) еще называют вторым законом Фика, где \Delta— дифференциальный оператор Лапласа.

В том случае, если перенос вещества вызван лишь градиентом его концентрации уравнение диффузии можно записать и в следующем виде:

  \[\frac{dc}{dt}=div\left(Dgrad\left(c\right)\right)-q\ \cdot c+F \qquad (4)\]

где c(x, t) — концентрация вещества в точке x=(x_1,x_2,x_3) среды в момент времени t, D – коэффициент диффузии, q — коэффициент поглощения, a F — интенсивность источников вещества. Величины D, q и F обычно являются функциями координат и времени, а также могут зависеть от концентрации с(x, t). B последнем случае, уравнение диффузии (4) становится нелинейным. В анизотропной среде коэффициент диффузии D является тензорным полем. В случае, когда величины D и q постоянны уравнение (4) является уравнением параболического типа. Для такого типа уравнений в математической физике разработаны методы решения. Допущение о постоянстве коэффициента диффузии справедливо в большинстве случаев реализуемых на практике. Уравнения диффузии не содержат ни каких сведений о механизмах этого процесса. Основная цель решения уравнения — найти распределение примеси c(x,t) после диффузии в течение определенного времени при различных условиях осуществления процесса.

Решение уравнения диффузии

Для выделения единственного решения для уравнения (4) необходимо задать начальные и граничные условия. Обычно, рассматривают следующие граничные условия:

1) на границе поверхности S поддерживается заданное распределение вещества c_0(x,t):\ {\left.c(x,t)\right|}_s=c_0(x,t)

2)на границе поверхности S поддерживается заданная плотность потока вещества, входящего в V через границу S: -D{\left.\frac{\partial c\left(x,t\right)}{\partial n}\right|}_s=c_1\left(x,t\right),

где n – внутренняя нормаль к поверхности S;

3) S- полупроницаема, и диффузия во внешнюю среду с заданной концентрацией c_0(x,t) через поверхность S происходит по линейному закону: k\frac{\partial c(x,t)}{\partial n}+h[{\left.c\left(x,t\right)-c_0(x,t)]\right|}_s=0

В простейшем случае, когда диффузия происходит только вдоль одной прямой и c=c(x,t)уравнение (3) запишется в виде:

  \[\frac{\partial c}{\partial t}=D\frac{{\partial }^2c}{\partial x^2}\ \left(3\right);t>0\ \left(5\right)\]

с начальным условием: c\left(x,0\right)=\varphi \left(x\right),\ -\infty <x<\infty .

Тогда уравнение (5) имеет решение вида:

  \[c\left(x,t\right)=\int^{\infty }_{-\infty }{G\left(x,x',t\right)\varphi \left(x'\right)dx'\ }\left(6\right)\]

  \[G\left(x,x',t\right)=({4\pi Dt)}^{-\frac{1}{2}}{\exp \left[-\frac{{\left(x'-x\right)}^2}{4Dt}\right]\ }\]

x' — текущая координата интегрирования.

Выражение (6) называется фундаментальным решением уравнения диффузии в случае (5).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Найти массу газа (\Delta m) с молярной плотностью \mu , прошедшего вследствие диффузии через площадку \Delta S за время \Delta t, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен \frac{\Delta \rho }{\Delta t}. Температура газа T, средняя длинна свободного пробега молекулы \lambda.
Решение Запишем первый закон Фика в терминах условий задачи:

  \[\Delta m=-D\frac{\Delta \rho }{\Delta x}\Delta S\Delta t\qquad (1.1)\]

Знак минус означает, направление вектора плотности. Возьмем модуль от правой части выражения (1.1):

  \[\Delta m=D\frac{\Delta \rho }{\Delta x}\Delta S\Delta t\qquad (1.2)\]

Зная, что D=\frac{1}{3}\overline{\lambda }\overline{v}, где \overline{\lambda }— средняя длина свободного пробега молекулы, \overline{v}— средняя скорость молекулы газа и она равна: v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}.

Соответственно преобразуем (1.2), найдем искомую массу газа:

  \[\Delta m=\frac{1}{3}\overline{\lambda }\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}\frac{\Delta \rho }{\Delta x}\Delta S\Delta t\]
Ответ Искомая масса газа может быть найдена по формуле: \Delta m=\frac{1}{3}\overline{\lambda }\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}\frac{\Delta \rho }{\Delta x}\Delta S\Delta t