Уравнение Лапласа

Дифференциальное уравнение в частных производных вида:

  \[\Delta =\frac{{\partial }^2f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2f}{\partial z^2}=0 \qquad (1)\]

называется уравнением Лапласа в декартовых координатах.

Оно является частным случаем уравнения Гельмгольца. Может рассматриваться в трехмерном (1), двумерном (2), одномерном и n – мерном пространствах:

  \[\frac{{\partial }^2f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2f}{\partial y^2}=0 \qquad (2)\]

  \[\frac{d^2f}{dx^2}=0 \qquad (3)\]

  \[\Delta f=0 \qquad (4)\]

Оператор \Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+\dots называется оператором Лапласа (Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.).

Решение уравнения Лапласа

Решениями уравнения Лапласа являются гармонические функции.

Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.

Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе \partial G области G. Если решение отыскивается во всём пространстве R^n, краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при x_1, \dots , x_n. Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение производной f по нормали к границе.

Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Уравнение Лапласа можно записать не только в декартовых координатах.

В сферических координатах (r,\varphi ,\theta ) уравнение Лапласа имеет следующий вид:

  \[\frac{1}{r^2}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta \partial\theta }\left(\sin\theta \cdot \frac{\partial f}{\partial \theta }\right)+\frac{{\partial }^2f}{r^2{\sin}^2\theta \partial{\varphi }^2}=0 \qquad (5)\]

В полярных координатах (r,\varphi ) система координат уравнение имеет вид:

  \[\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^2f}{r^2\partial {\varphi }^2}=0 \qquad \qquad (6)\]

В цилиндрических координатах (r,\varphi ,z) уравнение имеет вид:

  \[\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^2f}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2f}{r^2\partial {\varphi }^2}=0 \qquad \qquad (7)\]

К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки. Так, уравнение Лапласа описывает потенциал сил тяготения в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал электростатического поля – в области, не содержащей зарядов, температуру при стационарных процессах и т. д. Большое количество инженерных задач, связанных, в частности, с медленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита, а также стационарного электрического поля в окрестности фарфорового изолятора или заглубленного в землю электрического кабеля переменного поперечного сечения, сводится к решению трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Большое значение оператор Лапласа играет в квантовой механике.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами r_1 и r_2, разность потенциалов между которыми равна \Delta U.

Уравнение Лапласарис. 1.
Решение Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом аксиальной симметрии:

  \[\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial \varphi }{\partial r}\right)=0\qquad (1.1)\]

Оно имеет решение \varphi =-A \text{ln} (r)+B. Выберем нулевой потенциал на наружном цилиндре, найдем, получим:

\varphi \left(r_2\right)=0=-A \text{ln} r_2+B, следовательно

  \[B=A \text{ln} r_2\]

\varphi \left(r_1\right)=\Delta U=-A \text{ln} r_1+B, получим:

  \[A=\frac{\Delta U}{{\ \text{ln} \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }}\]

В результате имеем: \varphi (r)=-\frac{\Delta U}{{ \text{ln} \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }} \text{ln} \left(r\right)+\frac{\Delta U}{{ \text{ln} \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }} \text{ln} r_2
Ответ Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией

  \[ \varphi (r)=-\frac{\Delta U}{{ \text{ln} \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }} \text{ln} \left(r\right)+\frac{\Delta U}{{ \text{ln} \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }} \text{ln} r_2 \]