Уравнение Пуассона

Уравнение Пуассона описывает адиабатный процесс, протекающий в идеальном газе. Адиабатным называют такой процесс, при котором отсутствует теплообмен между рассматриваемой системой и окружающей средой: $\delta Q =0$ .Уравнение Пуассона имеет вид:

$PV^{k} =const$

Здесь $V$ – объем, занимаемый газом, $P$ – его давление, а величина $k$ называется показателем адиабаты.

Показатель адиабаты в уравнении Пуассона

Показатель адиабаты можно рассчитать, как отношение изобарной теплоемкости газа к его изохорной теплоемкости:

$k=\frac{C_{p}}{C_{V}}$

В практических расчётах удобно помнить, что для идеального газа показатель адиабаты равен $\frac{5}{3}$ , для двухатомного – $\frac{7}{5}$ , а для трёхатомного – $\frac{4}{3}$ .

Как же быть с реальными газами, когда важную роль начинают играть силы взаимодействия между молекулами? В этом случае показатель адиабаты для каждого исследуемого газа можно получить экспериментально. Один из таких методов был предложен в 1819 году Клеманом и Дезормом. Мы наполняем баллон холодным газом, пока давление в нём не достигнет $P_1$ . Затем открываем кран, газ начинает адиабатически расширяться, а давление в баллоне падает до атмосферного $P_A$ . После того, как газ изохорно прогреется до температуры окружающей среды, давление в баллоне повысится до $P_2$ . Тогда показатель адиабаты можно рассчитать за формулой:

$k=\frac{P_1 -P_{A}}{P_1 -P_2}$

Показатель адиабаты всегда больше 1, поэтому при адиабатическом сжатии газа – как идеального, так и реального – до меньшего объема температура газа всегда возрастает, а при расширении газ охлаждается. Это свойство адиабатического процесса, называемое пневматическим огнивом, применяется в дизельных двигателях, где горючая смесь сжимается в цилиндре и воспламеняется от высокой температуры. Вспомним первый закон термодинамики: $\delta Q =\Delta U+A$ , где $\Delta U$ — внутренняя энергия системы, а А – выполняемая над ней работа. Поскольку $\delta Q =0,$ то работа, осуществляемая газом, идёт только на изменение его внутренней энергии – а значит, температуры. Из уравнения Пуассона можно получить формулу для расчёта работы газа в адиабатном процессе:

$A=\frac{nRT}{k-1} (1-(\frac{V_1}{V_2} )^{k-1} )$

Здесь n – количество газа в молях, R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура газа.

Уравнение Пуассона для адиабатического процесса применяется не только при расчётах двигателей внутреннего сгорания, но и в проектировании холодильных машин.

Стоит помнить, что уравнение Пуассона точно описывает только равновесный адиабатный процесс, состоящий из непрерывно сменяющих друг друга состояний равновесия. Если же мы в реальности откроем кран в баллоне, чтобы газ адиабатически расширился, возникнет нестационарный переходной процесс с завихрениями газа, которые затухнут из-за макроскопического трения.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Одноатомный идеальный газ адиабатически сжали так, что его объем увеличился в 2 раза. Как изменится давление газа?

Решение

Показатель адиабаты для одноатомного газа равен $\frac{5}{3}$ . Однако его можно рассчитать и по формуле:

$k=\frac{C_{p}}{C_{V}} =\frac{R(i+2)/2}{Ri /2} =\frac{i+2}{i}$

где R – универсальная газовая постоянная, а і – степень свободы молекулы газа. Для одноатомного газа степень свободы равен 3: это значит, что центр молекулы может совершать поступательные движения по трём координатным осям.