Электромагнитные волны являются поперечными: векторы и напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, и лежат в плоскости перпендикулярной вектору скорости распространения волны. Векторы и образуют правовинтовую систему.
Уравнения электромагнитной волны
Связь между векторами и в электромагнитной волне, распространяющейся в непроводящей среде, определяется уравнениями Максвелла, в которых (плотность заряда) и (вектор плотности тока) полагают равными нулю:
где -напряженность электрического поля, -вектор магнитной индукции, -вектор магнитной напряженности, — вектор электрического смещения.
Таким образом, система уравнений (1) есть уравнения электромагнитной волны в непроводящей среде.
В случае однородной, изотропной, непроводящей среды, не обладающей ферромагнитными или сегнетоэлектрическими свойствами уравнения электромагнитной волны будут иметь вид:
где – электрическая и магнитная постоянные, – относительные электрическая и магнитная проницаемость среды.
Векторы и поля электромагнитной волны можно выразить через скалярный и векторный потенциалы. Тогда уравнения электромагнитной волны будут иметь вид:
где — оператор Лапласа, .
Каждая из проекций векторов на оси прямоугольной декартовой системы координат и удовлетворяют волновому уравнению(4):
где – фазовая скорость электромагнитной волны, В вакууме ( Для всех сред кроме ферромагнитных, и
Определение и уравнение плоской электромагнитной волны
Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси Ox правовинтовой системы координат, уравнения электромагнитной волны запишутся в следующем виде:
где – единичный вектор, проведенный в направлении распространении волны. Мы видим, что плоская электромагнитная волна может быть полностью определена с помощью одного лишь векторного потенциала . В вакууме:
Определение и уравнение монохроматической электромагнитной волны
Напряженности электрического и магнитного полей плоской монохроматической волны часто представляют в виде:
где – волновое число.
Очевидно, что и комплексные функции эквивалентны выражению (8)
Здесь — волновой вектор, а его модуль равен величине .
Электрическое и магнитное поля плоской волны направлены перпендикулярно друг-другу.
Примеры решения задач
Задание | Найти средний вектор Пойнтинга у плоской электромагнитной волны , если волна распространяется в вакууме. |
Решение | По определению вектор Пойнтинга:
Запишем средний вектор Пойнтинга, т.к :
Для плоской электромагнитной волны тогда положим:
Запишем уравнения полоской электромагнитной волны:
Продифференцируем (1.3) по x:
Продифференцируем (1.4) по t, получим:
Подставим (1.7) и (1.8) в (1.5), получим:
Подставим (1.10) в (1.1), затем в (1.2), получим:
Так как волна распространяется в вакууме, то запишем:
|
Ответ | Средний вектор Пойнтинга у плоской электромагнитной волны:
|