Закон Ома в дифференциальной форме

Закон Ома в дифференциальной форме — физический закон, определяющий связь между Электродвижущей силой источника или напряжением с силой тока и сопротивлением проводника.

\Large j=\sigma E


Закон ома в дифференциальной форме

Вывод формулы Закона Ома в дифференциальной форме

Предположим, что напряженность поля не изменяется. Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение равное

\large a=\frac{F}{m}=\frac{eE}{m}

К концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет значения

\large \upsilon _{max}=at=\frac{eE}{m}t

Тут t — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки. Друде не учитывал распределение электронов по скоростям и приписывал всем электронам одинаковое значение средней скорости. В этом приближении t=\frac{\overrightarrow{\lambda} }{\overrightarrow{\upsilon} }

\large \upsilon _{max}=\frac{eE\overline{\lambda}}{m\overline{\upsilon}}

Скорость изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее (за пробег) значение равно половине максимального

\large\overline{\upsilon}=\frac{1}{2}\overline{\upsilon}=\frac{eE\overline{\lambda}}{2m\overline{\upsilon}}

Полученную формулу подставим в

\large j=ne\overline{\upsilon}

И у нас получилось

\large j=\frac{ne^2\overline{\lambda}}{2m\overline{\upsilon}}E =\sigma E

В Формуле мы использовали :

j — Вектор плотности тока

\sigma — Удельная проводимость

E — Вектор напряжённости электрического поля

\overline{\lambda} — среднее значение длины свободного пробега

\overline{\upsilon} — скорость теплового движения электронов