Теория про уравнение бегущей волны
Когда мы говорим о движении тела, то имеем в виду перемещение в пространстве его самого. В случае же волнового движения речь идет не о перемещении среды или поля, а о перемещении возбужденного состояния среды или поля. В волне определенное состояние, сначала локализованное в одном месте пространства, передается (перемещается) в другие, соседние точки пространства.
Состояние среды или поля в данной точке пространства характеризуется одним или несколькими параметрами. Такими параметрами, например, в волне, образуемой на струне, является отклонение данного участка струны от положения равновесия (х), в звуковой волне в воздухе — это величина, характеризующая сжатие или расширение воздуха, в электромагнитной волне — это модули векторов и
. Важнейшим понятием для любой волны является фаза. Под фазой понимается состояние волны в данной точке и в данный момент времени, описанное соответствующими параметрами. Например, фаза электромагнитной волны задается модулями векторов
и
. Фаза от точки к точке меняется. Таким обpазом, фаза волны в математическом смысле есть функция координат и времени. С понятием фазы связано понятие волновой поверхности. Это поверхность, все точки которой в данный момент времени находятся в одной и той же фазе, т.е. это поверхность постоянной фазы.
Понятия волновой поверхности и фазы позволяют провести некоторую классификацию волн по характеру их поведения в пространстве и времени. Если волновые поверхности перемещаются в пространстве (например, обычные волны на поверхности воды), то волна называется бегущей.
Бегущие волны можно разделить на: плоские, сферические и цилиндрические.
Уравнение бегущей плоской волны
Уравнение плоской гармонической волны – это выражение вида:
или (что одно и то же)
где под x можно подразумевать любой параметр, характеризующий состояние среды (например, величину давления, температуру и т.д.); A- амплитуда волны; w- циклическая частота; r-расстояние от источника, возбуждающего волну, до точки пространства, в которой рассматривается изменение некоторого свойства среды, – скорость волны;
— начальная фаза волны (выбирается началом отсчета). Причем
отличаются сдвигом на
— волновое число;
— длина волны; выражение
называется фазой волны.
Экспоненциальная форма записи уравнения бегущей волны
Экспоненциальная форма записи уравнения (1) имеет вид:
где – радиус вектор, проведенный в рассматриваемую току среды;
– волновой вектор;
— единичный вектор, указывающий направление волны,
— комплексная амплитуда.
Для уравнения (2) необходимо отметить, что такая форма записи удобна для дифференцирования волновых уравнений. Однако физический смысл имеет только вещественная часть экспоненциального выражения.
Уравнение сферической и цилиндрической бегущей волны
Уравнение сферической бегущей волны:
В экспоненциальной форме уравнение сферической волны имеет вид:
где – комплексная амплитуда. Везде, кроме особой точки r=0, функция x удовлетворяет волновому уравнению
.
Уравнение цилиндрическое бегущей волны:
где r – расстояние от оси.
где – комплексная амплитуда.Примеры решения задач
Задание | Плоская незатухающая звуковая волна возбуждается источником колебаний частоты |
Решение | Запишем уравнение бегущей волны, зная, что она плоская:
Используем в записи уравнения w= Из условий задачи известно, что в начальный момент смещение точек источника максимально. Следовательно, Получим: Соответственно: |
Ответ |