Результатом диффузии при постоянной температуре является выравнивание химических потенциалов. В однофазной системе при постоянной температуре и при отсутствии внешних сил диффузия выравнивает концентрацию компонента фазы во всей системе. Если на систему действуют внешние силы или поддерживается градиент температуры, то в результате диффузии устанавливаются градиенты концентраций отдельных компонентов (термодиффузия, электродиффузия и другие процессы).
Уравнение диффузии в одномерном случае
Уравнение диффузии в одномерном случае () в двухкомпонентной системе — это первый закон Фика:
где dm – масса первого компонента, которая переносится за время dt через элементарную площадку dS в направлении нормали x к рассматриваемой площадке в сторону убывания плотности первого компонента, – градиент плотности, D – коэффициент диффузии.
Если в однокомпонентной системе выделить группу молекул, выравнивание концентрации выделенных частиц по объёму сосуда называется самодиффузией. Самодиффузия тоже описывается уравнением диффузии (первым законом Фика), в котором коэффициент D- называется коэффициентом самодиффузии.
Уравнение диффузии в трехмерном случае
В случае трехмерной диффузии изменение концентрации с течением времени при постоянной температуре и отсутствии внешних сил описывается дифференциальным уравнением диффузии:
где D- коэффициент диффузии, t- время. Если D не зависит от концентрации, то уравнение диффузии будет иметь вид:
Уравнение (3) еще называют вторым законом Фика, где — дифференциальный оператор Лапласа.
В том случае, если перенос вещества вызван лишь градиентом его концентрации уравнение диффузии можно записать и в следующем виде:
где c(x, t) — концентрация вещества в точке среды в момент времени t, D – коэффициент диффузии, q — коэффициент поглощения, a F — интенсивность источников вещества. Величины D, q и F обычно являются функциями координат и времени, а также могут зависеть от концентрации с(x, t). B последнем случае, уравнение диффузии (4) становится нелинейным. В анизотропной среде коэффициент диффузии D является тензорным полем. В случае, когда величины D и q постоянны уравнение (4) является уравнением параболического типа. Для такого типа уравнений в математической физике разработаны методы решения. Допущение о постоянстве коэффициента диффузии справедливо в большинстве случаев реализуемых на практике. Уравнения диффузии не содержат ни каких сведений о механизмах этого процесса. Основная цель решения уравнения — найти распределение примеси c(x,t) после диффузии в течение определенного времени при различных условиях осуществления процесса.
Решение уравнения диффузии
Для выделения единственного решения для уравнения (4) необходимо задать начальные и граничные условия. Обычно, рассматривают следующие граничные условия:
1) на границе поверхности S поддерживается заданное распределение вещества
2)на границе поверхности S поддерживается заданная плотность потока вещества, входящего в V через границу S:
где n – внутренняя нормаль к поверхности S
3) S- полупроницаема, и диффузия во внешнюю среду с заданной концентрацией через поверхность S происходит по линейному закону:
В простейшем случае, когда диффузия происходит только вдоль одной прямой и c=c(x,t)уравнение (3) запишется в виде:
с начальным условием:
Тогда уравнение (5) имеет решение вида:
— текущая координата интегрирования.
Выражение (6) называется фундаментальным решением уравнения диффузии в случае (5).
Примеры решения задач
Задание | Найти массу газа ( |
Решение | Запишем первый закон Фика в терминах условий задачи:
Знак минус означает, направление вектора плотности. Возьмем модуль от правой части выражения (1.1): Зная, что Соответственно преобразуем (1.2), найдем искомую массу газа: |
Ответ | Искомая масса газа может быть найдена по формуле: |