В модели Эйлера рассматривается идеальная жидкость, в которой отсутствуют теплопроводность (жидкость имеет постоянную температуру, не нагревается и не охлаждается) и вязкость (в жидкости не возникают силы трения). Поэтому силы, воздействующие на такую жидкость, сводятся к силам давления её собственных масс, гравитационным и инерционным силам.
Уравнение Эйлера в векторной форме
В векторной форме уравнение Эйлера имеет вид:
Слагаемые в правой части учитывают влияние внешних сил и давления собственной массы жидкости: – напряженность внешнего силового поля,
– давление в жидкости,
– плотность жидкости. Вектор
– скорость движения жидкости.
– субстанциональная производная, которая представляет собой ускорение движущейся точки в материальной среде. Субстанциональную производную можно разложить на частные производные, и тогда уравнение Эйлера примет вид:
Последнее уравнение еще называют уравнением движения невязкой жидкости в форме Громеко. Оно удобно еще и тем, что выделяет вихревую составляющую движения в виде слагаемого , а частная производная по времени
отображает местное ускорение, характерное для неустановившихся течений.
Решение уравнения Эйлера
При расчётах удобнее использовать уравнение Эйлера в скалярной форме:
где векторы скорости и внешних сил, а также поле давления разложены в виде проекций на координатные оси.
При решении несложных прикладных задач гидро- и газодинамики иногда бывает достаточно рассмотреть установившийся во времени одномерный поток. В этом случае уравнение Эйлера примет простой вид:
Проинтегрировав это выражение, можно получить уравнение Бернулли:

Уравнение Эйлера, лежащее в основе гидродинамики, используется в самых разных областях: при проектировании самолётов и судов, при расчёте турбин, насосов и трубопроводов, при исследовании морских течений и движения грунтовых вод.
Примеры решения задач
Задание | По горизонтальной трубе протекает жидкость плотностью 950 кг/м3. Давление на входе в трубу 0,3 МПа, на выходе из трубы 1 МПа. Скорость на входе в трубу 50 м/с. Определить скорость на выходе из трубы. |
Решение | Запишем уравнение Эйлера для стационарного одномерного потока:
Умножим обе части на dx и проинтегрируем: Запишем это выражение для входного и выходного сечений: |
Ответ |