Уравнение затухающих колебаний

Затухание колебаний

Свободные колебания в реальных условиях не могут продолжаться вечно. Для механических систем всегда имеет место сопротивление среды, вследствие чего энергия движения объекта рассеивается при трении. В электромагнитных контурах колебания затухают за счет сопротивления проводников.

График затухающих колебаний

Уравнение затухающих колебаний

Уравнение затухающих колебаний описывает движение реальных колебательных систем. В дифференциальной форме оно записывается следующим образом:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{\partial^2 x}{\partial t^2} +2\beta \frac{\partial x}{\partial t} +\omega_0^2 x=0\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»190″ height=»42″ />

Из этого выражения можно получить еще одну каноническую форму:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[x=Ae^{-\beta t} \cos (\omega t +\varphi_0 )\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»189″ height=»21″ />

либо x=Ae^{-\beta t} \sin (\omega t +\varphi_0 ).

Здесь x и t – координаты пространства и времени, А – первоначальная амплитуда. \beta – коэффициент затухания, который зависит от сопротивления среды r и массы колеблющегося объекта m:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\beta = \frac{r}{2m} \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»65″ height=»34″ />

Чем больше сопротивление среды, тем больше энергии рассеивается при вязком трении. И наоборот – чем больше масса (а значит, инерционность) тела, тем дольше оно будет продолжать движение.

Циклическая частота свободных колебаний (такой же системы, но без трения) \omega_0 учитывает силу упругости в системе (например, жесткость пружины k):

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\omega_0 =\frac{k}{m} \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»64″ height=»39″ />

Строго говоря, в случае затухающих колебаний нельзя говорить про период – время между повторяющимися движениями системы постоянно увеличивается. Однако если колебания затухают медленно, для них с достаточной точностью можно определить период Т:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[T=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 -\beta^2}} \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»124″ height=»46″ />

Циклическая частота затухающих колебаний

Еще одна характеристика затухающих колебаний – циклическая частота:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\omega =\sqrt{\omega_0^2 -\beta^2} \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»120″ height=»34″ />

Время релаксации – это коэффициент, показывающий, за какое время амплитуда колебаний уменьшится в е раз:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\tau = \frac{1}{\beta} \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»49″ height=»42″ />

Отношение амплитуды изменяющейся величины в двух последовательных периодах называют декрементом затухания:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[D= \frac{A(t)}{A(t+T)} =e^{\beta T} \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»171″ height=»44″ />

Эту же характеристику при расчетах часто представляют в виде логарифма:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\lambda =lnD=\beta T\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»120″ height=»17″ />

Добротность Q характеризует, насколько силы упругости системы превышают силы сопротивления среды, препятствуя диссипации энергии:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[Q= \frac{\sqrt{mk}}{r} \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»85″ height=»42″ />

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание После того, как к пружине подвесили груз, она растянулась на 9,8 см. Пружина колеблется в вертикальном направлении, \lambda = 3,1 . Определить период колебаний.
Решение Так как пружина растягивается под весом, то на нее действует сила тяжести:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[F=mg \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»64″ height=»16″ />

Силе тяжести противодействует сила упругости пружины:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[F=k\Delta x\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»76″ height=»13″ />

Из двух выражений найдём коэффициент упругости:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[k= \frac{mg}{\Delta x} \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»63″ height=»34″ />

Подставим коэффициент упругости в формулу для периода затухающих колебаний:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[T=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2 -\beta^2}} =\frac{2\pi}{\sqrt{\left(\frac{k}{m} \right)^2 -\beta^2}} \frac{2\pi}{\sqrt{\left(\frac{g}{\Delta x} \right)^2 -\beta^2}} \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»372″ height=»57″ />

Зная, что логарифмический декремент затухания \lambda =\beta T, выразим из него неизвестную величину \beta, подставим в знаменатель формулы и выразим Т:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[ T=\sqrt{\frac{(\lambda^2 +4\pi^2 )\Delta x}{g}} =\sqrt{\frac{(3,1^2 +4\pi^2 )\cdot 0,098}{9,8}} =0,7 c \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»444″ height=»57″ />
Ответ T = 0,7 c