Уравнение колебаний

Колебательными движениями (или колебаниями) в физике и технике называют такие виды движений (или изменения состояний), которые обладают какой-либо степенью повторяемости.

Колебания, происходящие по законам синуса или косинуса, называют гармоническими.

Уравнение гармонических колебаний:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[x=A\cos(wt+{\varphi }_0) \qquad (1)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»217″ height=»18″ />

где t-время; x-величина изменяющаяся со временем (координата, заряд, ток, ЭДС и т.п.); A- амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющейся величины от среднего (нулевого) значения; wt+{\varphi }_0— фаза колебаний; {\varphi }_0— начальная фаза; w- циклическая частота (изменение фазы в единицу времени). За период фаза меняется на 2\pi.

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[w=\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»120″ height=»38″ />

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Уравнение вида:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[x''+w^2x=0\ \qquad \qquad (2)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»213″ height=»21″ />

дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Виды периодических колебаний можно с любой степени точности можно представить в виде суммы гармонических колебаний, так называемого гармонического ряда.

Колебания, которые будет совершать тело, если его вывести из состояния равновесия (не важно как) и предоставить самому себе, называют свободными (собственными) колебаниями. Если собственные колебания вызваны наличием только квазиупругой силы, то они будут гармоническими.

Колебания тела, обусловленные одновременным действием квазиупругой силы и силы трения (которая пропорциональна мгновенной скорости: F_{tr}=-rv), называют затухающими колебаниями.

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[x''+2\beta x'+w^2x=0 \qquad \qquad (3)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»267″ height=»21″ />

Уравнение (3) называется дифференциальным уравнением затухающих колебаний. Здесь \beta – коэффициент затухания.

Решение дифференциального уравнения колебаний

Решением дифференциального уравнения затухающих колебаний (3) является соотношение вида:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[x=Ae^{-\beta t}{\cos \left(wt+{\varphi }_0\right)\ } \qquad (4)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»257″ height=»21″ />

Уравнение (4) называется уравнением затухающих колебаний. В уравнении (4) видно, что амплитуда затухающих колебаний зависит от времени. Константы A и \varphi}_0 определяются начальными условиями. Амплитуда колебаний убывает и они в целом выглядят так, как представлено на рис. 1

Уравнение колебанийрис. 1.

Период затухающих колебаний вычисляется по формуле (5):

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[T=\frac{2\pi }{w}=\frac{2\pi }{\sqrt{w_0-{\beta }^2}} \qquad (5)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»235″ height=»46″ />

Физический коэффициента затухания смысл состоит в том, что коэффициент затухания – величина, обратная времени релаксации. А время релаксации – это время, за которое амплитуда уменьшается в e раз. Однако коэффициент затухания не вполне характеризует затухание. Обычно затухание колебаний характеризуется декрементом затухания. Последний показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду колебаний. То есть декремент затухания определяется так:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\chi =e^{\beta T} \qquad (6)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»125″ height=»21″ />

Логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом, он, очевидно, равен:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[ln\chi =\beta T \qquad (7)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»139″ height=»18″ />

Если колебательная система подвергается воздействию внешней периодической силы, то возникают так называемые вынужденные колебания, имеющие незатухающий характер.

Вынужденные колебания следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе предполагается специальный механизм, который в такт с собственными колебаниями «поставляет» в систему небольшие порции энергии.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Найдите энергию свободных колебаний груза подвешенного на пружине Рассмотрите случай физического маятника, зная, что жесткость пружины k, амплитуда колебаний A.

Привет уравнения колебаний

рис. 1.1
Решение Найдем энергию свободных колебаний. Она представлена двумя видами энергии: кинетической и потенциальной. Для шарика, подвешенного на пружине:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[E=\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2}\qquad (1.1)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»209″ height=»41″ />

Колебания шарика описывает уравнение колебаний:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[x=A\cos(wt+{\varphi }_0)\qquad (1.2)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»231″ height=»18″ />

запишем уравнение колебаний скорости шарика, зная, что v_x=\ \frac{dx}{dt}, движение происходит только вдоль оси Х следовательно:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[v=v_x=-Aw\sin(wt+{\varphi }_0)\qquad (1.3)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»299″ height=»18″ />

Подставим (1.2) и (1.3) в (1.1), получим:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[E=\frac{1}{2}\left(mA^2w^2{\sin}^2\left(wt+{\varphi }_0\right)+kA^2{\cos}^2\left(wt+{\varphi }_0\right)\right)=\frac{kA^2}{2}\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»479″ height=»41″ />

зная, что для физического маятника w^2=\frac{k}{m}
Ответ Энергия свободных колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний E=\frac{kA^2}{2}