Уравнение Лапласа

Дифференциальное уравнение в частных производных вида:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\Delta =\frac{{\partial }^2f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2f}{\partial z^2}=0 \qquad (1)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»285″ height=»45″ />

называется уравнением Лапласа в декартовых координатах.

Оно является частным случаем уравнения Гельмгольца. Может рассматриваться в трехмерном (1), двумерном (2), одномерном и n – мерном пространствах:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{{\partial }^2f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2f}{\partial y^2}=0 \qquad (2)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»183″ height=»45″ />

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{d^2f}{dx^2}=0 \qquad (3)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»125″ height=»41″ />

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\Delta f=0 \qquad (4)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»121″ height=»18″ />

Оператор \Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+\dots называется оператором Лапласа (Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.).

Решение уравнения Лапласа

Решениями уравнения Лапласа являются гармонические функции.

Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.

Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе \partial G области G. Если решение отыскивается во всём пространстве R^n, краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при x_1, \dots , x_n. Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение производной f по нормали к границе.

Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Уравнение Лапласа можно записать не только в декартовых координатах.

В сферических координатах (r,\varphi ,\theta ) уравнение Лапласа имеет следующий вид:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{1}{r^2}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta \partial\theta }\left(\sin\theta \cdot \frac{\partial f}{\partial \theta }\right)+\frac{{\partial }^2f}{r^2{\sin}^2\theta \partial{\varphi }^2}=0 \qquad (5)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»551″ height=»46″ />

В полярных координатах (r,\varphi ) система координат уравнение имеет вид:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^2f}{r^2\partial {\varphi }^2}=0 \qquad \qquad (6)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»323″ height=»46″ />

В цилиндрических координатах (r,\varphi ,z) уравнение имеет вид:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^2f}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2f}{r^2\partial {\varphi }^2}=0 \qquad \qquad (7)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»381″ height=»46″ />

К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки. Так, уравнение Лапласа описывает потенциал сил тяготения в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал электростатического поля – в области, не содержащей зарядов, температуру при стационарных процессах и т. д. Большое количество инженерных задач, связанных, в частности, с медленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита, а также стационарного электрического поля в окрестности фарфорового изолятора или заглубленного в землю электрического кабеля переменного поперечного сечения, сводится к решению трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Большое значение оператор Лапласа играет в квантовой механике.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами r_1 и r_2, разность потенциалов между которыми равна \Delta U.

Уравнение Лапласарис. 1.
Решение Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом аксиальной симметрии:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial \varphi }{\partial r}\right)=0\qquad (1.1)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»225″ height=»45″ />

Оно имеет решение \varphi =-A \text{ln} (r)+B. Выберем нулевой потенциал на наружном цилиндре, найдем, получим:

\varphi \left(r_2\right)=0=-A \text{ln} r_2+B, следовательно

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[B=A \text{ln} r_2\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»85″ height=»16″ />

\varphi \left(r_1\right)=\Delta U=-A \text{ln} r_1+B, получим:

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[A=\frac{\Delta U}{{\ \text{ln} \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }}\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»113″ height=»57″ />

В результате имеем: \varphi (r)=-\frac{\Delta U}{{ \text{ln} \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }} \text{ln} \left(r\right)+\frac{\Delta U}{{ \text{ln} \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }} \text{ln} r_2
Ответ Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией

   <pre class=*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[ \varphi (r)=-\frac{\Delta U}{{ \text{ln} \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }} \text{ln} \left(r\right)+\frac{\Delta U}{{ \text{ln} \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }} \text{ln} r_2 \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»311″ height=»57″ />