Уравнение моментов

Определение и уравнение моментов

Пусть О — какая-либо неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Ее называют началом или полюсом. Обозначим через $\overline{r}$ радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы $\overline{F}$ (рис. 1) .

Уравнение моментов рис. 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Моментом силы $\overline{F}$ относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора $\overline{r}$ на силу $\overline{F}$ :

<pre class= *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\overline{M}=\overline{r}\times \overline{F} \qquad \qquad (1)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»189″ height=»20″ />

направление $\overline{M}$ выбирается так, чтобы последовательность векторов $\overline{r},\overline{F},\overline{M}$ образовывала правовинтовую систему, т. е. если смотреть вдоль вектора $\overline{M}$ , то поворот по кратчайшему пути от первого сомножителя в (1) ко второму осуществлялся по часовой стрелке, таким образом $\overline{M\ }$ совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, рукоятка которого вращается от $\ \overline{r},$ к $\overline{F}$ по наикратчайшему пути.

Моментом $\overline{M\ }$ нескольких сил относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точки:

<pre class= *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\overline{M}=\sum^n_{i=1}{{\overline{r}}_i\times \overline{F_i}} \qquad \qquad (2)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»229″ height=»53″ />

Момент импульса материальной точки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора $\overline{r}$ на импульс $\overline{p}$ :

<pre class= *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\overline{L}=\overline{r}\times \overline{p} \qquad \qquad (3)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»177″ height=»20″ />

<pre class= *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\overline{L}=J\overline{w} \qquad \qquad (4)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»161″ height=»20″ />

где $J$ — момент инерции, $\overline{w}$ — угловая скорость вращения тела.

Системы n материальных точек моментом импульса относительно некоторой точки О называется векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:

<pre class= *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\overline{L}=\sum^n_{i=1}{{\overline{r}}_i\times \overline{p_i}} \qquad \qquad (5)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»219″ height=»53″ />

Производная по времени от момента импульса $\overline{L}$ механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме моментов внешних сил ${\overline{M}}^{vnesh}$ , действующих на систему:

<pre class= *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}^{vnesh} \qquad \qquad (6)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»207″ height=»41″ />

Для материальной точки уравнение моментов записывается:

<pre class= *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»70″ height=»41″ />

Уравнение (6) называется уравнением моментов для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

В проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат с началом в полюсе О уравнение моментов системы записывается в виде:

<pre class= *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{dL_x}{dt}=M^{vnesh}_x,\ \frac{dL_y}{dt}=M^{vnesh}_y,\ \frac{dL_z}{dt}=M^{vnesh}_z \qquad (7)\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»447″ height=»39″ />

где $L_x,L_y,L_z$ — проекции момента импульса на соответствующую ось; $M^{vnesh}_x,M^{vnesh}_y,\ M^{vnesh}_z$ — проекции суммарного момента сил на соответствующую ось.

Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:

найти момент силы ( суммарного момента внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость от времени момента импульса частицы (системы частиц) относительно той же точки;
определить приращение момента импульса частицы (системы частиц) относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы (суммарного момента внешних сил), действующей на эту частицу ( систему частиц) относительно той же точки.Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Сравнить угловые скорости, приобретенные материальной точкой под действием вращающих моментов, графики (a,b) которых приведены на рисунках.

Пример 1, Уравнение моментов рис. 2.

Решение

В соответствии с уравнением моментов для материальной точки имеем:

» width=»70″ height=»41″ />

где $\overline{L}=J\overline{w}$

так как мы имеем дело с материальной точкой, соответственно, J не зависит от времени, получаем:

<pre class= *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[M=J\frac{dw}{dt}\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»83″ height=»39″ />

откуда $w=\frac{1}{J}\int{Mdt}$

Вспомним геометрический смысл интеграла.

Рассчитаем и сравним площади треугольников OAB и OCD.

<pre class= *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 20=20;\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»187″ height=»38″ />

<pre class= *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[S_{OCD}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4=20\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»184″ height=»38″ />

Площади треугольников равны, соответственно $w_a=w_b$

Ответ

Угловые скорости, приобретаемые материальной точкой в первом и втором случаях равны.

Все формулы

Все формулы по физике и математике

Темы по математике

Определение и уравнение моментов

Момент импульса материальной точки