В модели Эйлера рассматривается идеальная жидкость, в которой отсутствуют теплопроводность (жидкость имеет постоянную температуру, не нагревается и не охлаждается) и вязкость (в жидкости не возникают силы трения). Поэтому силы, воздействующие на такую жидкость, сводятся к силам давления её собственных масс, гравитационным и инерционным силам.

Уравнение Эйлера в векторной форме

В векторной форме уравнение Эйлера имеет вид:

  *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{d\bar{v}}{dt } =\bar{g}-\frac{1}{\rho } grad\; p\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»147″ height=»43″ />

Слагаемые в правой части учитывают влияние внешних сил и давления собственной массы жидкости:  – напряженность внешнего силового поля,  – давление в жидкости,  – плотность жидкости. Вектор  – скорость движения жидкости.  – субстанциональная производная, которая представляет собой ускорение движущейся точки в материальной среде. Субстанциональную производную можно разложить на частные производные, и тогда уравнение Эйлера примет вид:

  *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{\partial \bar{v}}{\partial t} +grad\; v ^2 +rot\; \overline{v}\times \overline{v}=\bar{g}-\frac{1}{\rho } grad\; p\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»328″ height=»44″ />

Последнее уравнение еще называют уравнением движения невязкой жидкости в форме Громеко. Оно удобно еще и тем, что выделяет вихревую составляющую движения в виде слагаемого , а частная производная по времени  отображает местное ускорение, характерное для неустановившихся течений.

Решение уравнения Эйлера

При расчётах удобнее использовать уравнение Эйлера в скалярной форме:

  *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[ \frac{dv _{x} }{dt } =g_{x} -\frac{1}{\rho } grad\; p _{x} , \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»176″ height=»43″ />

  *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[ \frac{dv _{y} }{dt } =g_{y} -\frac{1}{\rho } grad\; p _{y} , \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»174″ height=»43″ />

  *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[ \frac{dv _{z} }{dt } =g_{z} -\frac{1}{\rho } grad\; p _{z} , \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»174″ height=»43″ />

где векторы скорости и внешних сил, а также поле давления разложены в виде проекций на координатные оси.

При решении несложных прикладных задач гидро- и газодинамики иногда бывает достаточно рассмотреть установившийся во времени одномерный поток. В этом случае уравнение Эйлера примет простой вид:

  *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[v\frac{dv }{dx } =-\frac{1}{\rho } \cdot \frac{dp }{dx } \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»125″ height=»43″ />

Проинтегрировав это выражение, можно получить уравнение Бернулли:

  *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{\rho v ^2 }{2} +p=const\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37

» width=»131″ height=»41″ />

Уравнение Эйлера, лежащее в основе гидродинамики, используется в самых разных областях: при проектировании самолётов и судов, при расчёте турбин, насосов и трубопроводов, при исследовании морских течений и движения грунтовых вод.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	По горизонтальной трубе протекает жидкость плотностью 950 кг/м3. Давление на входе в трубу 0,3 МПа, на выходе из трубы 1 МПа. Скорость на входе в трубу 50 м/с. Определить скорость на выходе из трубы.
Решение	Запишем уравнение Эйлера для стационарного одномерного потока:   *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[v\frac{dv }{dx } =-\frac{1}{\rho } \cdot \frac{dp }{dx } \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37 » width=»125″ height=»43″ /> Умножим обе части на dx и проинтегрируем:   *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[vdv =-\frac{dp }{\rho } \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37 » width=»91″ height=»43″ />   *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[\frac{\rho v ^2 }{2} +p=const\] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37 » width=»131″ height=»41″ /> Запишем это выражение для входного и выходного сечений:   *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[ \frac{\rho v _1 ^2 }{2} +p_1 =\frac{\rho v _2 ^2 }{2} +p_2 , \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37 » width=»172″ height=»41″ />   *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[ \frac{\rho (v _1 ^2 -v_2 ^2 )}{2} =p_2 -p_1 , \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37 » width=»172″ height=»41″ />   *** QuickLaTeX cannot compile formula: \[ v_2 =\sqrt{v_1 ^2 -\frac{2(p _2 -p_1 )}{\rho } } =\sqrt{50^2 -\frac{2\cdot (10 ^6 -3\cdot 10^5 )}{950} } =32,04 \ m/c \] *** Error message: Cannot connect to QuickLaTeX server: cURL error 60: SSL certificate problem: unable to get local issuer certificate Please make sure your server/PHP settings allow HTTP requests to external resources ("allow_url_fopen", etc.) These links might help in finding solution: http://wordpress.org/extend/plugins/core-control/ http://wordpress.org/support/topic/an-unexpected-http-error-occurred-during-the-api-request-on-wordpress-3?replies=37 » width=»535″ height=»57″ />
Ответ	м/с