Уравнение моментов

Определение и уравнение моментов

Пусть О — какая-либо неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Ее называют началом или полюсом. Обозначим через $\overline{r}$ радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы $\overline{F}$ (рис. 1) .

Уравнение моментов рис. 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Моментом силы $\overline{F}$ относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора $\overline{r}$ на силу $\overline{F}$ :

$\overline{M}=\overline{r}\times \overline{F} \qquad \qquad (1)$

направление $\overline{M}$ выбирается так, чтобы последовательность векторов $\overline{r},\overline{F},\overline{M}$ образовывала правовинтовую систему, т. е. если смотреть вдоль вектора $\overline{M}$ , то поворот по кратчайшему пути от первого сомножителя в (1) ко второму осуществлялся по часовой стрелке, таким образом $\overline{M\ }$ совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, рукоятка которого вращается от $\ \overline{r},$ к $\overline{F}$ по наикратчайшему пути.

Моментом $\overline{M\ }$ нескольких сил относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точки:

$\overline{M}=\sum^n_{i=1}{{\overline{r}}_i\times \overline{F_i}} \qquad \qquad (2)$

Момент импульса материальной точки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора $\overline{r}$ на импульс $\overline{p}$ :

$\overline{L}=\overline{r}\times \overline{p} \qquad \qquad (3)$

$\overline{L}=J\overline{w} \qquad \qquad (4)$

где $J$ — момент инерции, $\overline{w}$ — угловая скорость вращения тела.

Системы n материальных точек моментом импульса относительно некоторой точки О называется векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:

$\overline{L}=\sum^n_{i=1}{{\overline{r}}_i\times \overline{p_i}} \qquad \qquad (5)$

Производная по времени от момента импульса $\overline{L}$ механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме моментов внешних сил ${\overline{M}}^{vnesh}$ , действующих на систему:

$\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}^{vnesh} \qquad \qquad (6)$

Для материальной точки уравнение моментов записывается:

$\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}$

Уравнение (6) называется уравнением моментов для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

В проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат с началом в полюсе О уравнение моментов системы записывается в виде:

$\frac{dL_x}{dt}=M^{vnesh}_x,\ \frac{dL_y}{dt}=M^{vnesh}_y,\ \frac{dL_z}{dt}=M^{vnesh}_z \qquad (7)$

где $L_x,L_y,L_z$ — проекции момента импульса на соответствующую ось; $M^{vnesh}_x,M^{vnesh}_y,\ M^{vnesh}_z$ — проекции суммарного момента сил на соответствующую ось.

Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:

найти момент силы ( суммарного момента внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость от времени момента импульса частицы (системы частиц) относительно той же точки;
определить приращение момента импульса частицы (системы частиц) относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы (суммарного момента внешних сил), действующей на эту частицу ( систему частиц) относительно той же точки.Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Сравнить угловые скорости, приобретенные материальной точкой под действием вращающих моментов, графики (a,b) которых приведены на рисунках.

Пример 1, Уравнение моментов рис. 2.