Определение и уравнение моментов
Пусть О — какая-либо неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Ее называют началом или полюсом. Обозначим через радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы
(рис. 1) .
рис. 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Моментом силы относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора
на силу
:
направление выбирается так, чтобы последовательность векторов
образовывала правовинтовую систему, т. е. если смотреть вдоль вектора
, то поворот по кратчайшему пути от первого сомножителя в (1) ко второму осуществлялся по часовой стрелке, таким образом
совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, рукоятка которого вращается от
к
по наикратчайшему пути.
Моментом нескольких сил относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точки:
Момент импульса материальной точки
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора на импульс
:
где — момент инерции,
— угловая скорость вращения тела.
Системы n материальных точек моментом импульса относительно некоторой точки О называется векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:
Производная по времени от момента импульса механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме моментов внешних сил
, действующих на систему:
Для материальной точки уравнение моментов записывается:
Уравнение (6) называется уравнением моментов для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.
В проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат с началом в полюсе О уравнение моментов системы записывается в виде:
где — проекции момента импульса на соответствующую ось;
— проекции суммарного момента сил на соответствующую ось.
Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:
- найти момент силы ( суммарного момента внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость от времени момента импульса частицы (системы частиц) относительно той же точки;
- определить приращение момента импульса частицы (системы частиц) относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы (суммарного момента внешних сил), действующей на эту частицу ( систему частиц) относительно той же точки.Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание | Сравнить угловые скорости, приобретенные материальной точкой под действием вращающих моментов, графики (a,b) которых приведены на рисунках.
|
Решение | В соответствии с уравнением моментов для материальной точки имеем:
где так как мы имеем дело с материальной точкой, соответственно, J не зависит от времени, получаем: откуда Вспомним геометрический смысл интеграла. Рассчитаем и сравним площади треугольников OAB и OCD. Площади треугольников равны, соответственно |
Ответ | Угловые скорости, приобретаемые материальной точкой в первом и втором случаях равны. |