Линейная алгебра

Ортогональность

Перпендикулярность векторов и подпространств через нулевое скалярное произведение.

11 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Ортогональность векторов через скалярное произведение	$u\cdot v=0$	Матрицы, определители	Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. В евклидовом пространстве это означает взаимную перпендикулярность направлений и дает алгебраический способ проверять прямые углы.
Норма вектора через скалярное произведение	$\\|v\\|=\sqrt{v\cdot v}$	Матрицы, определители	Длина вектора в евклидовом пространстве равна квадратному корню из его скалярного произведения с самим собой. Формула связывает геометрическую длину с алгебраической операцией над координатами.
Ортонормированный базис	$e_i\cdot e_j=\delta_{ij}$	Матрицы, определители	Базис называется ортонормированным, если его векторы имеют длину 1 и попарно ортогональны. Краткая запись e_i*e_j=delta_ij объединяет оба условия в одной формуле.
Ортогональная проекция на прямую	$\operatorname{proj}_{u}v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u$	Матрицы, определители	Ортогональная проекция вектора v на прямую, заданную ненулевым вектором u, равна такому кратному u, что остаток v-proj_u v перпендикулярен прямой.
Ортогональная проекция на подпространство с ортонормированным базисом	$\operatorname{proj}_{W}x=\sum_{i=1}^{k}(x\cdot q_i)q_i$	Матрицы, определители	Если q_1,...,q_k образуют ортонормированный базис подпространства W, то проекция x на W равна сумме его компонент вдоль этих базисных направлений.
Ортогональное дополнение подпространства	$W^{\perp}=\{x:\ x\cdot w=0\ \text{для всех }w\in W\},\quad \dim W+\dim W^{\perp}=n$	Матрицы, определители	Ортогональное дополнение W^perp состоит из всех векторов, перпендикулярных каждому вектору подпространства W. В R^n его размерность дополняет размерность W до n.
Проекция вектора на ненормированный вектор	$\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{u^{\top}v}{u^{\top}u}\,u$	Матрицы, определители	Проекция вектора v на направление u вычисляется через скалярное произведение с нормированием на длину u. Эта формула связывает вычисление с геометрическим смыслом ортогонального разложения: она показывает, какая часть вектора идет вдоль выбранного направления, а какая остается поперек него.
Остаток в задаче ЛС и его ортогональность	$r=b-A\hat{x},\quad A^T r=0,\quad Q^T r=0$	Матрицы, определители	Оптимальный LS-решение дает остаток, перпендикулярный всем столбцам A (и столбцам Q). Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений.
Ортогональность невязки	$r=b-A\hat x,\quad A^\top r=0.$	Матрицы, определители	Ортогональность невязки означает, что в оптимальном МНК-решении остаток r=b-Ax перпендикулярен каждому столбцу A и не содержит направления, которое можно еще улучшить моделью.
Проекционный оператор и оценка МНК	$\hat b = A\hat x = A A^+ b,\qquad P=AA^+,\ P^\top=P,\ P^2=P.$	Матрицы, определители	Матрица P=A(A^T A)^{-1}A^T проецирует b на пространство столбцов A, а вектор Pb является предсказанием модели МНК. Эта запись важна не как отдельный трюк, а как часть практического языка линейных моделей и обработки измерений.
Сингулярное разложение матрицы	$A=U\Sigma V^T,\quad U^TU=I,\quad V^TV=I$	Матрицы, определители	Сингулярное разложение представляет матрицу как произведение двух ортогональных матриц и диагональной матрицы сингулярных чисел. Это универсальная форма разложения, которая работает для прямоугольных матриц и показывает главные направления действия линейного отображения.