Площадь круга равна произведению числа pi на квадрат радиуса. Квадрат радиуса показывает, что при удвоении радиуса круглая область становится в четыре раза больше.

$S = \pi r^2$

Длина окружности

Длина окружности равна 2pi r или pi d. Она показывает периметр круглой границы, поэтому измеряется в обычных единицах длины, а не в квадратных.

$C = 2\pi r$

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант D=b^2-4ac определяет, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 и можно ли найти их через корень из D.

$D = b^2 - 4ac$

Корни квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения выражает решения ax^2+bx+c=0 через коэффициенты a, b и дискриминант D, если a не равно нулю.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество sin^2 x+cos^2 x=1 выражает связь координат точки единичной окружности и верно для любого угла x.

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Радианная мера угла через длину дуги

Радианная мера угла равна отношению длины соответствующей дуги окружности к радиусу этой окружности и задает естественный числовой аргумент тригонометрических функций.

$\alpha=\frac{l}{R}$

Перевод градусов в радианы

Чтобы перевести градусы в радианы, градусную меру умножают на π и делят на 180, потому что 180° соответствуют π радианам.

$\alpha_{rad}=\alpha_{deg}\cdot\frac{\pi}{180}$

Перевод радианов в градусы

Чтобы перевести радианы в градусы, радианную меру умножают на 180 и делят на π, используя соответствие π рад = 180° для одной полуокружности.

$\alpha_{deg}=\alpha_{rad}\cdot\frac{180}{\pi}$

Синус и косинус на единичной окружности

На единичной окружности косинус угла равен абсциссе точки, а синус равен ее ординате после соответствующего поворота от оси Ox.

$P(t)=(\cos t;\sin t)$

Тангенс через синус и косинус

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу при условии, что косинус этого угла не равен нулю, поэтому область определения нужно проверять.

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

Тождества для тангенса и котангенса

Тождества для тангенса и котангенса выводятся из основного тригонометрического тождества делением на cos²x или sin²x с учетом ограничений.

$1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\quad 1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}$

Формула синуса суммы

Синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса одного угла на косинус другого и является базовой формулой сложения.

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

Формула косинуса суммы

Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов минус произведение синусов этих углов, поэтому знак в середине критически важен.

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

Формула тангенса суммы

Тангенс суммы равен дроби, где в числителе сумма тангенсов, а в знаменателе единица минус произведение тангенсов двух углов.

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выражают синус и косинус 2x через синус и косинус угла x и следуют из формул сложения при x + x в тригонометрии.

$\sin 2x=2\sin x\cos x,\quad \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$

Определение производной через предел

Производная функции в точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует.

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная степенной функции

Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу.

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Производная суммы и разности

Производная суммы или разности функций равна сумме или разности их производных при условии, что обе производные существуют.

$(u\pm v)'=u'\pm v'$

Производная произведения

Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй.

$(uv)'=u'v+uv'$

Производная частного

Производная частного двух функций равна дроби, в числителе которой стоит u'v − uv', а в знаменателе квадрат знаменателя исходной дроби.

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Производная сложной функции

Производная сложной функции равна производной внешней функции, взятой от внутренней, умноженной на производную внутренней функции.

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Уравнение касательной к графику функции

Касательная к графику функции в точке x0 имеет угловой коэффициент f'(x0) и проходит через точку графика (x0; f(x0)) как обычная прямая.

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Признак возрастания и убывания через производную

Если производная положительна на интервале, функция возрастает; если производная отрицательна на интервале, функция убывает.

$f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$

Критические точки и экстремум функции

Критические точки функции ищут среди точек, где производная равна нулю или не существует, а экстремум подтверждают сменой знака производной.

$f'(x_0)=0\ \text{или}\ f'(x_0)\ \text{не существует}$

Первообразная степенной функции

Первообразная степенной функции x^n равна x^(n+1)/(n+1) плюс постоянная C, если показатель степени не равен −1, и проверяется производной.

$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1$

Сумма двух чисел

Сумма показывает, сколько предметов получится, если к одной группе добавить другую группу и посчитать все предметы вместе.

$a+b=c$

Неизвестное слагаемое через сумму

Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое: так находят недостающую часть целого и проверяют ответ сложением.

$a=c-b$

Разность двух чисел

Разность показывает, сколько останется после удаления части или на сколько одно число больше другого при сравнении двух количеств.

$a-b=c$

Уменьшаемое через разность и вычитаемое

Чтобы найти уменьшаемое, к разности прибавляют вычитаемое: так восстанавливают исходное количество до вычитания и проверяют ход задачи.

$a=c+b$

Вычитаемое через уменьшаемое и разность

Чтобы найти вычитаемое, из уменьшаемого вычитают разность: так узнают, какую часть убрали, потратили или отделили от целого.

$b=a-c$

Сравнение: на сколько больше или меньше

Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, из большего числа вычитают меньшее и получают разницу между ними.

$d=a-b,\quad a\ge b$

Число на несколько больше

Чтобы получить число на несколько больше, к исходному числу прибавляют указанное количество и находят новое большее значение.

$x=a+k$

Число на несколько меньше

Чтобы получить число на несколько меньше, из исходного числа вычитают указанное количество и получают новое меньшее значение.

$x=a-k$

Длина отрезка по частям

Если отрезок состоит из двух частей, его общая длина равна сумме длин этих частей, измеренных в одной единице длины без промежутков.

$L=l_1+l_2$

Периметр простой ломаной

Периметр простой ломаной или границы фигуры находят сложением длин всех ее звеньев или сторон в одной единице длины без пропусков.

$P=l_1+l_2+\dots+l_n$

Умножение как сумма одинаковых слагаемых

Умножение показывает сумму одинаковых слагаемых: если число a повторяется n раз, его можно записать короче как a · n и проверить сложением.

$a\cdot n=\underbrace{a+a+\dots+a}_{n\text{ раз}}$

Перестановка множителей

От перестановки множителей произведение не меняется: одинаковый прямоугольный набор можно считать по строкам или по столбцам.

$a\cdot b=b\cdot a$

Умножение на ноль

Если число умножить на ноль или ноль умножить на число, произведение равно нулю, потому что нет ни одной заполненной группы.

$a\cdot 0=0,\quad 0\cdot a=0$

Умножение на единицу

Если число умножить на единицу или единицу умножить на число, произведение равно этому же числу, потому что количество не увеличивается.

$a\cdot 1=a,\quad 1\cdot a=a$

Деление на равные части

При делении на равные части общее количество N распределяют поровну на k групп и находят, сколько будет в одной группе после распределения.

$x=N:k$

Число групп при делении

Чтобы узнать число одинаковых групп, общее количество N делят на количество предметов q в одной группе и получают число полных наборов.

$m=N:q$

Неизвестный множитель

Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делят на известный множитель и проверяют ответ обратным умножением в исходной записи.

$x=P:a$

Стоимость покупки по цене и количеству

Стоимость покупки равна цене одного предмета, умноженной на количество одинаковых предметов, если все они продаются по одной цене.

$C=p\cdot n$

Периметр прямоугольника через сумму сторон

Периметр прямоугольника равен сумме всех четырех сторон: длина, ширина, снова длина и снова ширина в одной единице длины.

$P=a+b+a+b$

Периметр квадрата

Периметр квадрата равен длине одной стороны, умноженной на 4, потому что у квадрата четыре равные стороны границы фигуры.

$P=4a$

Умножение суммы на число

Умножение суммы на число позволяет сначала сложить числа в скобках, а можно умножить каждое слагаемое на это число и сложить результаты.

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Деление суммы на число

Деление суммы на число разрешает разделить каждое слагаемое на одно и то же число и сложить частные, если такие деления выполняются без остатка.

$(a+b):c=a:c+b:c$

Порядок действий без скобок

В выражениях без скобок сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо.

$\text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$

Порядок действий со скобками

Если в выражении есть скобки, сначала выполняют действия внутри скобок, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.

$\text{скобки} \; \rightarrow \; \text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$

Неизвестное делимое

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель: если x : a = b, то x = b · a, а затем проверить ответ обратным делением.

$x:a=b \Rightarrow x=b\cdot a$

Неизвестный делитель

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное: если a : x = b, то x = a : b, а правильность проверяется исходным делением.

$a:x=b \Rightarrow x=a:b$

Деление с остатком

При делении с остатком делимое равно произведению делителя и неполного частного плюс остаток, причем остаток всегда меньше делителя.

$a=b\cdot q+r,\quad 0\le r<b$

Площадь прямоугольника по клеткам

Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины: формула показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри прямоугольника.

$S=a\cdot b$

Площадь квадрата

Площадь квадрата равна произведению стороны самой на себя, потому что у квадрата длина и ширина одинаковы и образуют квадратную сетку.

$S=a\cdot a$

Периметр многоугольника

Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон: нужно пройти по границе фигуры и сложить каждую сторону по порядку.

$P=a_1+a_2+\dots+a_n$

Расстояние по скорости и времени

Расстояние равно скорости, умноженной на время движения: формула показывает, какой путь пройдет объект при постоянной скорости.

$S=v\cdot t$

Скорость по расстоянию и времени

Скорость равна расстоянию, деленному на время: формула показывает, какой путь проходили за одну единицу времени при равномерном движении.

$v=S:t$

Время по расстоянию и скорости

Время движения равно расстоянию, деленному на скорость: формула показывает, сколько единиц времени нужно, чтобы пройти весь путь.

$t=S:v$

Работа по производительности и времени

Объем работы равен производительности, умноженной на время: если за одну единицу времени делают p единиц, то за t единиц времени сделают p · t.

$A=p\cdot t$

Производительность по работе и времени

Производительность равна объему работы, деленному на время: формула показывает, сколько работы выполняют за одну единицу времени.

$p=A:t$