Математика / Матрицы, определители
Размерности ядра и образа матрицы
Если матрица A имеет n столбцов и ранг r, то размерность ее ядра равна n-r, а размерность образа равна r. Это матричная форма теоремы о ранге и дефекте.
Формула
Ведущие столбцы дают ранг, свободные столбцы дают размерность ядра.
dim Im A = r, dim ker A = n-r.
Обозначения
- $A$
- матрица размера m x n, матрица
- $n$
- число столбцов матрицы, то есть число входных координат, штук
- $r$
- ранг матрицы A, штук
- $\ker A$
- множество решений Ax=0, подпространство R^n
- $\operatorname{Im}A$
- столбцовое пространство A, подпространство R^m
Условия применения
- Матрица A рассматривается как линейное отображение x -> Ax.
- r должен быть корректно найден как ранг матрицы A.
- n равно числу столбцов, а не числу строк.
Ограничения
- Формула дает размерности, но для базисов ядра и образа нужно выполнить дополнительные вычисления.
- Размерность образа равна рангу, но сам образ зависит от конкретных столбцов матрицы.
- Для численных матриц почти зависимые столбцы могут требовать устойчивого метода оценки ранга.
Подробное объяснение
Матрица A размера m x n задает линейное отображение из R^n в R^m. Входное пространство имеет размерность n. Ранг r показывает размерность образа, то есть число независимых направлений в столбцовом пространстве. Теорема о ранге и дефекте говорит, что оставшаяся часть размерности входа приходится на ядро. Поэтому dim ker A = n - r.
Эта запись полезна тем, что сразу переводит результат приведения матрицы в структуру отображения. Если после метода Гаусса найдено r ведущих столбцов, то эти столбцы отвечают за размерность образа. Остальные n-r столбцов соответствуют свободным переменным в Ax=0 и дают размерность ядра.
Формула помогает классифицировать отображение. Если n-r=0, ядро нулевое и отображение инъективно. Если r=m, образ равен всему R^m и отображение сюръективно. Если одновременно n=m=r, квадратная матрица обратима. Если хотя бы одно из равенств не выполняется, появляются недостижимые выходы или потерянные входные направления.
В учебной практике эта страница связывает несколько ранее отдельных действий: найти ранг, решить однородную систему, определить число параметров и понять геометрию отображения. Вместо четырех разрозненных проверок получается один размерностный баланс.
Как пользоваться формулой
- Определите размер матрицы A: m x n.
- Найдите ранг r.
- Запишите dim Im A = r.
- Вычислите dim ker A = n - r.
- Используйте эти размерности для выводов об инъективности, сюръективности и числе параметров.
Историческая справка
Матричная форма теоремы о ранге и дефекте выросла из метода Гаусса и понятия ранга. В ступенчатом виде матрицы видно, сколько столбцов ведущие и сколько свободные. Современная запись dim ker A = n-r и dim Im A = r делает этот счет не просто вычислительным итогом, а структурным описанием линейного отображения. Она связывает традицию решения систем с языком пространств, который развивался через работы многих математиков XIX века. В учебниках эта формула часто становится первым местом, где метод исключения, подпространства и отображения собираются в одну картину. Через нее видно, что ранг, ядро и образ не отдельные темы, а разные стороны одной матрицы как линейного отображения.
Историческая линия формулы
Формула размерностей ядра и образа матрицы является матричной формой общей теоремы о ранге и дефекте. Ее не следует приписывать одному автору; она возникла из развития метода исключения, понятия ранга и теории линейных пространств.
Пример
Пусть A имеет размер 4 x 6 и rank A = 3. Тогда n = 6, r = 3. Размерность образа равна r = 3: матрица может порождать трехмерное подпространство в R^4. Размерность ядра равна n - r = 6 - 3 = 3: однородная система Ax=0 имеет три свободных параметра. Если рассматривать A: R^6 -> R^4, отображение не инъективно, потому что ядро не нулевое. Оно также не сюръективно на весь R^4, потому что образ имеет размерность 3, а не 4. Если в задаче дана правая часть b, совместность Ax=b дополнительно требует, чтобы b лежал именно в этом трехмерном образе.
Частая ошибка
Чаще всего путают n с числом строк m. В формуле dim ker A = n - r используется число столбцов, потому что ядро живет во входном пространстве. Вторая ошибка - считать dim Im A как число строк без проверки ранга. Третья ошибка - делать вывод о сюръективности только по большому числу столбцов: важен именно ранг. Еще одна ошибка - записывать размерность ядра отрицательной, если ранг ошибочно взят больше числа столбцов.
Практика
Задачи с решением
Найти размерности
Условие. Матрица A имеет размер 5 x 7 и rank A = 4. Найдите dim ker A и dim Im A.
Решение. Число столбцов n = 7, ранг r = 4. Поэтому dim Im A = 4, dim ker A = 7 - 4 = 3.
Ответ. dim ker A = 3, dim Im A = 4
Проверить свойства отображения
Условие. A имеет размер 3 x 3 и rank A = 3. Что можно сказать об отображении A: R^3 -> R^3?
Решение. dim ker A = 3 - 3 = 0, значит отображение инъективно. dim Im A = 3 = dim R^3, значит оно сюръективно. Следовательно, матрица обратима.
Ответ. Отображение инъективно, сюръективно и обратимо
Дополнительные источники
- Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, fundamental theorem of linear maps
- Jim Hefferon, Linear Algebra, dimension of kernel and image
- 18.06SC Linear Algebra notes, rank and kernel
Связанные формулы
Математика
Теорема о ранге и дефекте
Теорема о ранге и дефекте говорит, что размерность исходного пространства равна сумме размерности образа и размерности ядра линейного отображения.
Математика
Ранг линейного отображения
Ранг линейного отображения равен размерности его образа. Он показывает, сколько независимых направлений результата реально достижимо.
Математика
Дефект линейного отображения
Дефект линейного отображения равен размерности его ядра. Он показывает, сколько независимых входных направлений отображение переводит в ноль.