Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Дефект линейного отображения

Дефект линейного отображения равен размерности его ядра. Он показывает, сколько независимых входных направлений отображение переводит в ноль.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраЛинейные отображенияЯдро отображенияРанг и дефектСвободные переменные

Формула

$$\operatorname{def}T=\dim\ker T$$
потерянные направления Дефект считает направления, ушедшие в ноль

Чем больше размерность ядра, тем больше разных входов дают один и тот же выход.

def T = dim ker T.

Обозначения

$\operatorname{def}T$
дефект отображения, штук
$\ker T$
ядро отображения, подпространство
$\dim\ker T$
размерность ядра, штук
$T$
линейное отображение, оператор

Условия применения

  • Отображение должно быть линейным.
  • Пространство V должно быть конечномерным, если дефект считается конечным числом.
  • При матрице A дефект вычисляется по решениям Ax = 0.

Ограничения

  • Дефект не показывает, какие выходы достижимы; для этого нужен образ.
  • Нулевой дефект означает инъективность, но не обязательно сюръективность, если пространство значений больше образа.
  • В численных задачах дефект зависит от того, какие направления считаются практически нулевыми.

Подробное объяснение

Дефект показывает размерность ядра. Если в ядре только нулевой вектор, дефект равен нулю. Если ядро является прямой, дефект равен одному. Если ядро является плоскостью, дефект равен двум. Поэтому дефект можно понимать как число независимых параметров, которые не видны на выходе отображения.

В матричных вычислениях дефект находят после приведения матрицы A к ступенчатому виду. Ведущие столбцы соответствуют переменным, которые определяются уравнениями Ax=0. Неведущие столбцы соответствуют свободным переменным. Их число и есть dim ker A. Если матрица имеет n столбцов и ранг r, то дефект равен n-r.

Дефект важен не только как счетчик. Он объясняет, почему неоднородная совместная система может иметь много решений. Если Ax=b имеет одно решение xp, то каждое направление из ker A можно добавить к xp и получить новое решение. Чем больше дефект, тем больше свободы в множестве решений.

В линейных отображениях дефект является парой к рангу. Ранг говорит, сколько независимых направлений результата сохраняется, а дефект - сколько направлений входа исчезает. Их сумма равна размерности исходного пространства.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите матрицу A отображения.
  2. Найдите rank A.
  3. Определите n как число столбцов A.
  4. Вычислите def T = n - rank A.
  5. При необходимости найдите базис ядра, чтобы увидеть направления дефекта явно.

Историческая справка

Дефект как размерность ядра стал стандартным понятием вместе с теоремой о ранге и дефекте. В вычислительном языке это было число свободных переменных однородной системы, а в языке линейных отображений - размерность пространства входных направлений, которые отображение уничтожает. Такое переименование полезно: оно превращает технический остаток после метода Гаусса в геометрическую характеристику отображения. Исторически это часть перехода от решения систем к структуре линейных пространств. В англоязычных курсах рядом часто встречается отдельный термин для этой величины, но в русском учебном контексте понятнее говорить о дефекте или размерности ядра.

Историческая линия формулы

Дефект линейного отображения не имеет одного автора. Он связан с общим развитием понятий ядра, ранга и размерности в линейной алгебре. Историческая связь здесь проходит через метод исключения, подсчет свободных параметров и поздний язык линейных отображений.

Герман Грассман 1809-1877Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897

Пример

Пусть T: R^4 -> R^2 имеет матрицу A со ступенчатым видом, где есть два ведущих столбца. Тогда rank A = 2, число неизвестных n = 4, а размерность ядра равна 4 - 2 = 2. Значит def T = 2. Это означает, что существует два независимых направления входа, которые отображение переводит в ноль. Если одно частное решение Ax=b найдено, все остальные решения будут получаться добавлением линейных комбинаций этих двух направлений ядра. В геометрическом смысле дефект показывает, сколько степеней свободы теряется при переходе от входного пространства к результату.

Частая ошибка

Дефект часто путают с количеством нулевых строк после приведения. Правильная формула связана с числом свободных переменных, то есть со столбцами без ведущих элементов. Вторая ошибка - считать дефект по расширенной матрице [A|b], хотя он относится к самому отображению и матрице A. Третья ошибка - думать, что дефект может быть отрицательным; по формуле n - rank A он всегда неотрицателен. Еще одна ошибка - не отличать дефект от размерности образа.

Практика

Задачи с решением

Вычислить дефект

Условие. T: R^6 -> R^4 имеет rank T = 3. Найдите def T.

Решение. Используем n = dim R^6 = 6. По формуле def T = n - rank T = 6 - 3 = 3.

Ответ. 3

Связать дефект с инъективностью

Условие. У линейного отображения def T = 0. Можно ли сделать вывод об инъективности?

Решение. Да. Нулевой дефект означает, что ker T содержит только нулевой вектор. Для линейного отображения это эквивалентно инъективности.

Ответ. Да, отображение инъективно

Дополнительные источники

  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, kernels and dimension
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, kernel and rank
  • 18.06SC Linear Algebra notes, rank and kernel

Связанные формулы

Математика

Ядро линейного отображения

$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$

Ядро линейного отображения - это множество всех векторов, которые переходят в нулевой вектор. По ядру сразу видно, теряет ли отображение информацию и может ли оно быть инъективным.

Математика

Теорема о ранге и дефекте

$\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T$

Теорема о ранге и дефекте говорит, что размерность исходного пространства равна сумме размерности образа и размерности ядра линейного отображения.