Математика / Матрицы, определители

Теорема о ранге и дефекте

Теорема о ранге и дефекте говорит, что размерность исходного пространства равна сумме размерности образа и размерности ядра линейного отображения.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T

баланс размерностей Размерность входа делится на видимое и потерянное

Ранг измеряет образ, дефект измеряет ядро, а их сумма равна размерности исходного пространства.

dim V = rank T + dim ker T.

Обозначения

$V$: исходное конечномерное пространство, векторное пространство
$T$: линейное отображение T: V -> W, оператор
$\operatorname{rank}T$: размерность образа T, штук
$\dim\ker T$: размерность ядра T, штук

Условия применения

Пространство V должно быть конечномерным.
Отображение T должно быть линейным.
Ранг понимается как размерность образа, а дефект - как размерность ядра.

Ограничения

Теорема дает размерности, но не строит базис ядра или образа автоматически.
Для бесконечномерных пространств нужны дополнительные формулировки и осторожность с размерностями.
Теорема не говорит, что образ и ядро лежат в одном пространстве: ядро лежит в V, образ - в W.

Подробное объяснение

Теорема о ранге и дефекте говорит, что каждое независимое направление исходного пространства либо видно в образе, либо теряется в ядре. Это не означает буквального разбиения векторов на две стопки, но означает точный баланс размерностей. Если исходное пространство имеет размерность n, а образ имеет размерность r, то оставшиеся n-r независимых направлений находятся в ядре.

В матричной форме теорема знакома как формула rank A + dim ker A = n, где n - число столбцов матрицы. Метод Гаусса показывает это очень наглядно: ведущие столбцы дают ранг, а неведущие столбцы дают свободные переменные. Количество ведущих и свободных столбцов вместе равно общему числу столбцов.

Теорема помогает быстро делать выводы. Если T: V -> W и dim V = dim W, то инъективность и сюръективность становятся эквивалентными: нулевое ядро заставляет ранг быть максимальным, а полный образ заставляет ядро быть нулевым. Если размерности разные, теорема сразу показывает, какие свойства невозможны.

В учебной навигации эта формула связывает несколько тем: ядро, образ, ранг, свободные переменные, решения однородных систем и критерии обратимости. Поэтому ее полезно держать как центральную страницу внутри блока линейных отображений.

Как пользоваться формулой

Определите размерность исходного пространства V.
Найдите rank T или dim Im T.
Найдите dim ker T или вычислите ее из формулы.
Проверьте баланс: dim V = rank T + dim ker T.
Используйте результат для вывода об инъективности, сюръективности или числе параметров.

Историческая справка

Теорема о ранге и дефекте оформилась как естественное обобщение подсчета ведущих и свободных переменных в системах линейных уравнений. Метод Гаусса уже показывал числовой баланс: число ведущих столбцов плюс число свободных столбцов равно числу неизвестных. Язык линейных отображений превратил этот баланс в теорему о размерностях ядра и образа. Исторически такая формулировка стала возможна после развития понятий векторного пространства, линейной независимости, матрицы и ранга. Поэтому она объединяет вычислительную традицию исключения с более поздней структурной точкой зрения: матрица не просто решает систему, а описывает, какая часть пространства сохраняется и какая часть уходит в ядро.

Историческая линия формулы

Теорема о ранге и дефекте в современной форме является частью общего аппарата линейной алгебры. Ее лучше связывать с развитием матричного и пространственного языка, а не с единичным открытием. Поэтому в атрибуции уместны Грассман, Сильвестр и традиция метода Гаусса, но без персонального авторства формулы.

Герман Грассман 1809-1877 Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897

Пример

Пусть T: R^5 -> R^3 имеет ранг 3. По теореме о ранге и дефекте dim V = rank T + dim ker T. Значит 5 = 3 + dim ker T, откуда dim ker T = 2. Это означает, что отображение достигает всего R^3, если пространство значений действительно трехмерно, но при этом не является инъективным: в ядре есть два независимых направления. Если решать систему Ax=b с такой матрицей и совместной правой частью, множество решений будет зависеть от двух параметров. Если же правая часть несовместна, сама формула размерностей не дает решения, а только описывает структуру однородной части.

Частая ошибка

Главная ошибка - складывать размерность образа и размерность пространства значений W, а не размерность ядра. Вторая ошибка - думать, что ядро и образ являются подпространствами одного пространства: обычно они живут в разных местах. Третья ошибка - применять формулу к нелинейной функции. Еще одна ошибка - забывать конечномерность исходного пространства в базовой учебной формулировке.

Практика

Задачи с решением

Найти дефект по рангу

Условие. T: R^8 -> R^5 имеет rank T = 4. Найдите dim ker T.

Решение. По теореме 8 = 4 + dim ker T. Значит dim ker T = 4.

Ответ. dim ker T = 4

Найти ранг по ядру

Условие. T: R^6 -> R^10, dim ker T = 1. Найдите rank T.

Решение. По теореме dim V = rank T + dim ker T. Значит 6 = rank T + 1, поэтому rank T = 5.

Ответ. rank T = 5

Дополнительные источники

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, fundamental theorem of linear maps
Jim Hefferon, Linear Algebra, rank theorem and dimension formula
18.06SC Linear Algebra notes, rank and kernel

Связанные формулы

Математика

Ранг линейного отображения

$\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{Im}T$

Ранг линейного отображения равен размерности его образа. Он показывает, сколько независимых направлений результата реально достижимо.

Математика

Дефект линейного отображения

$\operatorname{def}T=\dim\ker T$

Дефект линейного отображения равен размерности его ядра. Он показывает, сколько независимых входных направлений отображение переводит в ноль.

Математика

Размерности ядра и образа матрицы

$\dim\ker A=n-r,\quad \dim\operatorname{Im}A=r$

Если матрица A имеет n столбцов и ранг r, то размерность ее ядра равна n-r, а размерность образа равна r. Это матричная форма теоремы о ранге и дефекте.