Физика: темы

Теоретическая механика

Формулы и правила по теме «Теоретическая механика».

10 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Функция Лагранжа T минус U	$L=T-U$	Механика	Функция Лагранжа равна разности кинетической и потенциальной энергии системы, если силы потенциальны и выбранные координаты описывают конфигурацию системы.
Уравнения Лагранжа второго рода	$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=Q_i^{(nc)}$	Механика	Уравнения Лагранжа второго рода дают уравнения движения в обобщенных координатах через производные лагранжиана и возможные неконсервативные обобщенные силы.
Обобщенный импульс в лагранжевой механике	$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}$	Механика	Обобщенный импульс равен частной производной лагранжиана по соответствующей обобщенной скорости и может отличаться от привычного импульса mv.
Гамильтониан через преобразование Лежандра	$H(q,p,t)=\sum_i p_i\dot q_i-L(q,\dot q,t)$	Механика	Гамильтониан получают из лагранжиана преобразованием Лежандра по скоростям, переходя от переменных q и qdot к координатам q и импульсам p.
Канонические уравнения Гамильтона	$\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\quad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$	Механика	Канонические уравнения Гамильтона задают движение системы в фазовом пространстве через производные гамильтониана по импульсам и координатам.
Скобка Пуассона и эволюция величины	$\frac{df}{dt}=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t},\quad \{f,g\}=\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)$	Механика	Скобка Пуассона выражает изменение физической величины через ее производные по каноническим координатам и импульсам и гамильтониан системы.
Эффективный потенциал в центральном поле	$U_{\text{eff}}(r)=U(r)+\frac{\ell^2}{2mr^2}$	Механика	Эффективный потенциал в центральном поле складывается из настоящего потенциала U(r) и центробежного члена, связанного с сохранением момента импульса.
Кинетическая энергия твердого тела через тензор инерции	$T_{rot}=\frac12\boldsymbol{\omega}^{T}I\boldsymbol{\omega}$	Механика	Вращательная кинетическая энергия твердого тела выражается квадратичной формой угловой скорости через тензор инерции, учитывающий распределение массы относительно осей.
Теорема Штейнера об оси инерции	$I=I_{cm}+ma^2$	Механика	Теорема Штейнера, или теорема о параллельных осях, связывает момент инерции относительно новой оси с моментом относительно параллельной оси через центр масс.
Малые колебания около положения равновесия	$\omega^2=\frac{U''(q_0)}{m_{eff}}$	Механика	Частота малых колебаний около устойчивого равновесия определяется второй производной потенциальной энергии в точке равновесия и эффективной массой координаты.