Линейная алгебра

Ранг матрицы

Линейная независимость строк и столбцов, миноры, размерность образа и проверка совместности систем.

15 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Ранг матрицы через миноры	$\operatorname{rank}A=\max\{r:\text{существует ненулевой минор порядка }r\}$	Матрицы, определители	Ранг матрицы равен наибольшему порядку ненулевого минора. Он показывает, сколько строк или столбцов матрицы действительно независимы.
Ступенчатый вид матрицы	$p_1<p_2<\dots<p_r,\quad a_{ij}=0\ \text{ниже ведущих элементов}$	Матрицы, определители	Ступенчатый вид матрицы - это форма, где ведущие элементы ненулевых строк смещаются вправо при движении вниз, а под каждым ведущим элементом стоят нули.
Приведенный ступенчатый вид матрицы	$\operatorname{rref}(A)$	Матрицы, определители	Приведенный ступенчатый вид, или RREF, усиливает обычный ступенчатый вид: каждый ведущий элемент равен 1, а в его столбце все остальные элементы равны 0.
Ранг расширенной матрицы системы	$\operatorname{rank}[A\mid b]$	Матрицы, определители	Ранг расширенной матрицы показывает, добавляет ли столбец правых частей новое независимое условие к строкам матрицы коэффициентов. Это ключ к проверке совместности системы.
Теорема Кронекера-Капелли	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]$	Матрицы, определители	Теорема Кронекера-Капелли дает точный критерий совместности линейной системы: решение существует тогда и только тогда, когда ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы равны.
Условие несовместности линейной системы	$\operatorname{rank}A<\operatorname{rank}[A\mid b]$	Матрицы, определители	Линейная система несовместна, если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов. Это означает, что правые части добавляют противоречивое условие, которое нельзя получить из левых частей уравнений.
Условие единственного решения линейной системы	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]=n$	Матрицы, определители	Линейная система с n неизвестными имеет единственное решение, если она совместна и общий ранг равен числу неизвестных. Тогда все переменные ведущие, свободных параметров не остается.
Условие бесконечного числа решений линейной системы	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]<n$	Матрицы, определители	Совместная линейная система имеет бесконечно много решений, если общий ранг меньше числа неизвестных. Тогда остаются свободные переменные, и все решения описываются параметрами.
Число свободных переменных в линейной системе	$k=n-\operatorname{rank}A$	Матрицы, определители	В совместной линейной системе число свободных переменных равно числу неизвестных минус ранг матрицы коэффициентов. Эти переменные становятся параметрами общего решения.
Общее решение линейной системы через параметры	$x=x_p+t_1v_1+\cdots+t_kv_k$	Матрицы, определители	Общее решение совместной линейной системы записывают как одно частное решение плюс линейную комбинацию направлений однородной системы. Параметров столько, сколько свободных переменных.
Размерность пространства решений однородной системы	$\dim\ker A=n-\operatorname{rank}A$	Матрицы, определители	Размерность пространства решений однородной системы Ax = 0 равна числу неизвестных минус ранг матрицы A. Это частный и особенно важный случай подсчета свободных переменных.
Образ линейного отображения	$\operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}$	Матрицы, определители	Образ линейного отображения - это множество всех векторов, которые реально могут получиться на выходе. Для матрицы это столбцовое пространство, натянутое на ее столбцы.
Ранг линейного отображения	$\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{Im}T$	Матрицы, определители	Ранг линейного отображения равен размерности его образа. Он показывает, сколько независимых направлений результата реально достижимо.
Критерий сюръективности линейного отображения через образ	$T\text{ surjective}\iff\operatorname{Im}T=W$	Матрицы, определители	Линейное отображение сюръективно, если его образ совпадает со всем пространством значений. В матричном языке это означает полный строковый ранг.
Ранг матрицы через сингулярные числа	$\operatorname{rank}(A)=\#\{i:\sigma_i>0\}$	Матрицы, определители	Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных чисел. Эта формула связывает алгебраическое понятие размерности образа с численной диагностикой зависимости строк и столбцов.