Математика: темы

Планиметрия

Формулы и правила по теме «Планиметрия».

33 формулы

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Сумма смежных углов	$\alpha + \beta = 180^\circ$	Геометрия	Сумма смежных углов: смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. В вычислениях это записывают как alpha + beta = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.
Вертикальные углы	$\alpha = \beta$	Геометрия	Вертикальные углы: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. В вычислениях это записывают как alpha = beta, если обозначения выбраны как в формуле.
Сумма углов треугольника	$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$	Геометрия	Сумма углов треугольника: три внутренних угла любого треугольника вместе образуют 180 градусов. В вычислениях это записывают как alpha + beta + gamma = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.
Внешний угол треугольника	$\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$	Геометрия	Внешний угол треугольника: внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В вычислениях это записывают как alpha внеш = beta + gamma, если обозначения выбраны как в формуле.
Периметр треугольника	$P = a + b + c$	Геометрия	Периметр треугольника: периметр треугольника равен длине всей его границы. В вычислениях это записывают как P = a + b + c, если обозначения выбраны как в формуле.
Периметр прямоугольника	$P = 2(a + b)$	Геометрия	Периметр прямоугольника: периметр прямоугольника складывается из двух длин и двух ширин. В вычислениях это записывают как P = 2(a + b), если обозначения выбраны как в формуле.
Площадь прямоугольника	$S = ab$	Геометрия	Площадь прямоугольника: площадь прямоугольника равна числу единичных квадратов в прямоугольной сетке. В вычислениях это записывают как S = ab, если обозначения выбраны как в формуле.
Периметр равнобедренного треугольника	$P=2a+b$	Геометрия	Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне плюс основание. Формула использует равенство двух боковых сторон. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Угол между биссектрисами смежных углов	$\frac{\alpha}{2}+\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ$	Геометрия	Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны. Их угол равен 90 градусам, потому что смежные углы в сумме дают 180 градусов. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Первый признак равенства треугольников	$AB=A_1B_1,\ AC=A_1C_1,\ \angle A=\angle A_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$	Геометрия	Первый признак равенства треугольников утверждает: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников	$AB=A_1B_1,\ \angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$	Геометрия	Второй признак равенства треугольников использует сторону и два прилежащих к ней угла. Такой набор однозначно задает треугольник. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Третий признак равенства треугольников	$AB=A_1B_1,\ BC=B_1C_1,\ AC=A_1C_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$	Геометрия	Третий признак равенства треугольников утверждает: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, треугольники равны. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Биссектриса угла и половина градусной меры	$\beta=\frac{\alpha}{2}$	Геометрия	Биссектриса делит угол на два равных угла. Если весь угол равен alpha, каждый из получившихся углов равен alpha/2. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин.
Угол при вершине равнобедренного треугольника	$\beta=180^\circ-2\alpha$	Геометрия	Если известен угол при основании равнобедренного треугольника, угол при вершине находят как 180 градусов минус удвоенный угол при основании. Она помогает не подменять гео.
Угол равностороннего треугольника	$\alpha=60^\circ$	Геометрия	В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому все внутренние углы равны и каждый из них составляет 60 градусов. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин.
Периметр равностороннего треугольника	$P=3a$	Геометрия	Периметр равностороннего треугольника равен утроенной стороне, потому что все три его стороны имеют одну и ту же длину. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин.
Третий угол треугольника	$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta$	Геометрия	Если известны два угла треугольника, третий находят вычитанием их суммы из 180 градусов. Формула следует из теоремы о сумме углов треугольника. Она помогает не подменять.
Угол при основании равнобедренного треугольника	$\alpha=\frac{180^\circ-\beta}{2}$	Геометрия	В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если известен угол при вершине, каждый угол при основании равен половине разности 180° и этого угла. Она помогает.
Внутренние односторонние углы при параллельных прямых	$\alpha+\beta=180^\circ$	Геометрия	Если две параллельные прямые пересечены секущей, внутренние односторонние углы в сумме дают 180 градусов. Они дополняют друг друга до развернутого угла. Она помогает не п.
Теорема Пифагора	$c^2 = a^2 + b^2$	Геометрия	Теорема Пифагора позволяет найти сторону прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов.
Площадь треугольника через основание и высоту	$S = \frac{1}{2}ah$	Геометрия	Площадь треугольника через основание и высоту равна половине произведения выбранного основания на соответствующую высоту.
Площадь параллелограмма	$S = ah$	Геометрия	Площадь параллелограмма находят как произведение стороны, выбранной основанием, на перпендикулярную высоту к этой стороне.
Площадь трапеции	$S = \frac{a + b}{2}h$	Геометрия	Площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту, проведенную между параллельными сторонами. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.
Площадь ромба через диагонали	$S = \frac{d_1d_2}{2}$	Геометрия	Площадь ромба можно найти по диагоналям: половина произведения диагоналей дает площадь всей фигуры. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике	$\tan \alpha = \frac{a}{b}$	Тригонометрия	Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.
Средняя линия треугольника	$m = \frac{a}{2}$	Геометрия	Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине ее длины. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.
Планиметрия: площадь треугольника через основание и высоту	$S=\frac{1}{2}ah$	Геометрия	Площадь треугольника равна половине произведения выбранного основания на высоту, опущенную к этому основанию. Формула является одной из главных в планиметрии.
Масштаб чертежа	$M=\frac{l_{\text{чертеж}}}{l_{\text{натура}}}$	Геометрия	Масштаб показывает отношение длины на чертеже к соответствующей реальной длине. Он позволяет уменьшать или увеличивать изображение без изменения формы объекта.
Площадь трапеции через основания и высоту	$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$	Геометрия	Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Формула учитывает две параллельные стороны и расстояние между ними.
Площадь ромба через произведение диагоналей	$S=\frac{d_1d_2}{2}$	Геометрия	Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Формула удобна, когда известны обе диагонали, а высота или сторона не даны.
Средняя линия треугольника в задачах 8 класса	$m=\frac{a}{2}$	Геометрия	Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине этой третьей стороны.
Теорема Фалеса	$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$	Геометрия	Теорема Фалеса утверждает, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки.
Подобие треугольников по двум углам	$\angle A=\angle A_1,\;\angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$	Геометрия	Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны, а их стороны пропорциональны.