Математика: темы

Арифметика

Формулы и правила по теме «Арифметика».

38 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Сумма двух чисел	$a+b=c$	Сложение, вычитание	Сумма показывает, сколько предметов получится, если к одной группе добавить другую группу и посчитать все предметы вместе.
Неизвестное слагаемое через сумму	$a=c-b$	Сложение, вычитание	Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое: так находят недостающую часть целого и проверяют ответ сложением.
Разность двух чисел	$a-b=c$	Сложение, вычитание	Разность показывает, сколько останется после удаления части или на сколько одно число больше другого при сравнении двух количеств.
Уменьшаемое через разность и вычитаемое	$a=c+b$	Сложение, вычитание	Чтобы найти уменьшаемое, к разности прибавляют вычитаемое: так восстанавливают исходное количество до вычитания и проверяют ход задачи.
Вычитаемое через уменьшаемое и разность	$b=a-c$	Сложение, вычитание	Чтобы найти вычитаемое, из уменьшаемого вычитают разность: так узнают, какую часть убрали, потратили или отделили от целого.
Сравнение: на сколько больше или меньше	$d=a-b,\quad a\ge b$	Счет, сравнение чисел	Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, из большего числа вычитают меньшее и получают разницу между ними.
Число на несколько больше	$x=a+k$	Счет, сравнение чисел	Чтобы получить число на несколько больше, к исходному числу прибавляют указанное количество и находят новое большее значение.
Число на несколько меньше	$x=a-k$	Счет, сравнение чисел	Чтобы получить число на несколько меньше, из исходного числа вычитают указанное количество и получают новое меньшее значение.
Умножение как сумма одинаковых слагаемых	$a\cdot n=\underbrace{a+a+\dots+a}_{n\text{ раз}}$	Умножение, деление	Умножение показывает сумму одинаковых слагаемых: если число a повторяется n раз, его можно записать короче как a · n и проверить сложением.
Перестановка множителей	$a\cdot b=b\cdot a$	Умножение, деление	От перестановки множителей произведение не меняется: одинаковый прямоугольный набор можно считать по строкам или по столбцам.
Умножение на ноль	$a\cdot 0=0,\quad 0\cdot a=0$	Умножение, деление	Если число умножить на ноль или ноль умножить на число, произведение равно нулю, потому что нет ни одной заполненной группы.
Умножение на единицу	$a\cdot 1=a,\quad 1\cdot a=a$	Умножение, деление	Если число умножить на единицу или единицу умножить на число, произведение равно этому же числу, потому что количество не увеличивается.
Деление на равные части	$x=N:k$	Умножение, деление	При делении на равные части общее количество N распределяют поровну на k групп и находят, сколько будет в одной группе после распределения.
Число групп при делении	$m=N:q$	Умножение, деление	Чтобы узнать число одинаковых групп, общее количество N делят на количество предметов q в одной группе и получают число полных наборов.
Неизвестный множитель	$x=P:a$	Умножение, деление	Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делят на известный множитель и проверяют ответ обратным умножением в исходной записи.
Стоимость покупки по цене и количеству	$C=p\cdot n$	Стоимость, движение	Стоимость покупки равна цене одного предмета, умноженной на количество одинаковых предметов, если все они продаются по одной цене.
Умножение суммы на число	$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$	Умножение, деление	Умножение суммы на число позволяет сначала сложить числа в скобках, а можно умножить каждое слагаемое на это число и сложить результаты.
Деление суммы на число	$(a+b):c=a:c+b:c$	Умножение, деление	Деление суммы на число разрешает разделить каждое слагаемое на одно и то же число и сложить частные, если такие деления выполняются без остатка.
Порядок действий без скобок	`\text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}`	Умножение, деление	В выражениях без скобок сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо.
Порядок действий со скобками	`\text{скобки} \; \rightarrow \; \text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}`	Умножение, деление	Если в выражении есть скобки, сначала выполняют действия внутри скобок, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Неизвестное делимое	$x:a=b \Rightarrow x=b\cdot a$	Умножение, деление	Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель: если x : a = b, то x = b · a, а затем проверить ответ обратным делением.
Неизвестный делитель	$a:x=b \Rightarrow x=a:b$	Умножение, деление	Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное: если a : x = b, то x = a : b, а правильность проверяется исходным делением.
Деление с остатком	$a=b\cdot q+r,\quad 0\le r<b$	Умножение, деление	При делении с остатком делимое равно произведению делителя и неполного частного плюс остаток, причем остаток всегда меньше делителя.
Разрядная запись многозначного числа	$N=a_n\cdot10^n+a_{n-1}\cdot10^{n-1}+\dots+a_1\cdot10+a_0$	Натуральные числа, делимость	Разрядная запись показывает, что многозначное число состоит из единиц, десятков, сотен, тысяч и других разрядов, умноженных на степени 10.
Среднее арифметическое нескольких чисел	$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$	Натуральные числа, делимость	Среднее арифметическое равно сумме всех чисел, деленной на их количество; оно показывает равное значение, которое заменяет набор чисел.
Дробь как часть целого	$\frac{m}{n}=m\cdot\frac{1}{n}$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Обыкновенная дробь m/n показывает m равных частей целого, если целое разделено на n одинаковых частей, и помогает записывать доли величин, которые нельзя удобно выразить только целыми числами.
Нахождение части числа по дроби	$\text{часть}=A\cdot\frac{m}{n}=A:n\cdot m$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Чтобы найти дробь от числа, можно разделить число на знаменатель и умножить результат на числитель, сохраняя смысл равных долей целого и единицы исходной величины.
Нахождение числа по его дроби	$A=\text{часть}:m\cdot n$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Чтобы найти целое по известной дробной части, нужно известную часть разделить на числитель и умножить на знаменатель дроби; это обратная задача к нахождению доли.
Признаки делимости на 2, 5 и 10	$n\vdots2\Leftrightarrow a_0\in\{0,2,4,6,8\},\quad n\vdots5\Leftrightarrow a_0\in\{0,5\},\quad n\vdots10\Leftrightarrow a_0=0$	Арифметика и теория чисел	Признаки делимости на 2, 5 и 10 позволяют определить делимость натурального числа по последней цифре, не выполняя деление столбиком.
Признаки делимости на 3 и 9	$n\vdots3\Leftrightarrow S(n)\vdots3,\quad n\vdots9\Leftrightarrow S(n)\vdots9$	Арифметика и теория чисел	Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится соответственно на 3 или 9, поэтому большое число можно проверить коротким сложением цифр.
Простые и составные числа	`p>1,\;D(p)=\{1,p\}`	Арифметика и теория чисел	Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число; составное число имеет больше двух натуральных делителей.
Разложение числа на простые множители	$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$	Арифметика и теория чисел	Разложение на простые множители представляет составное число как произведение простых чисел, часто с использованием степеней одинаковых множителей.
Наибольший общий делитель	$\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$	Арифметика и теория чисел	Наибольший общий делитель двух чисел равен произведению общих простых множителей, взятых в меньших степенях, и показывает самую большую общую меру чисел.
Наименьшее общее кратное	$\operatorname{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$	Арифметика и теория чисел	Наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению всех простых множителей из разложений, взятых в больших степенях.
Сокращение дроби по НОД	$\frac{a}{b}=\frac{a:d}{b:d},\quad d=\gcd(a,b)$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Чтобы сократить дробь максимально, числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель, сохраняя значение дроби и получая несократимую запись.
Приведение дробей к общему знаменателю	$\frac{a}{m}=\frac{a\cdot(k/m)}{k},\quad \frac{b}{n}=\frac{b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, обычно берут НОК знаменателей и домножают числители на дополнительные множители.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями	$\frac{a}{m}\pm\frac{b}{n}=\frac{a\cdot(k/m)\pm b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$	Обыкновенные дроби, смешанные числа	Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие с числителями.
Умножение обыкновенных дробей	`\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},\quad b\ne0,\;d\ne0`	Обыкновенные дроби, смешанные числа	При умножении обыкновенных дробей перемножают числители и знаменатели, а затем при возможности сокращают результат до несократимой дроби.