Математика: темы
Арифметика
Формулы и правила по теме «Арифметика».
75 формул
Таблица формул
Показаны 1-60 из 75. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Сумма двух чисел | $a+b=c$ | Сложение, вычитание | Сумма показывает, сколько предметов получится, если к одной группе добавить другую группу и посчитать все предметы вместе. |
| Неизвестное слагаемое через сумму | $a=c-b$ | Сложение, вычитание | Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое: так находят недостающую часть целого и проверяют ответ сложением. |
| Разность двух чисел | $a-b=c$ | Сложение, вычитание | Разность показывает, сколько останется после удаления части или на сколько одно число больше другого при сравнении двух количеств. |
| Уменьшаемое через разность и вычитаемое | $a=c+b$ | Сложение, вычитание | Чтобы найти уменьшаемое, к разности прибавляют вычитаемое: так восстанавливают исходное количество до вычитания и проверяют ход задачи. |
| Вычитаемое через уменьшаемое и разность | $b=a-c$ | Сложение, вычитание | Чтобы найти вычитаемое, из уменьшаемого вычитают разность: так узнают, какую часть убрали, потратили или отделили от целого. |
| Сравнение: на сколько больше или меньше | $d=a-b,\quad a\ge b$ | Счет, сравнение чисел | Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, из большего числа вычитают меньшее и получают разницу между ними. |
| Число на несколько больше | $x=a+k$ | Счет, сравнение чисел | Чтобы получить число на несколько больше, к исходному числу прибавляют указанное количество и находят новое большее значение. |
| Число на несколько меньше | $x=a-k$ | Счет, сравнение чисел | Чтобы получить число на несколько меньше, из исходного числа вычитают указанное количество и получают новое меньшее значение. |
| Умножение как сумма одинаковых слагаемых | $a\cdot n=\underbrace{a+a+\dots+a}_{n\text{ раз}}$ | Умножение, деление | Умножение показывает сумму одинаковых слагаемых: если число a повторяется n раз, его можно записать короче как a · n и проверить сложением. |
| Перестановка множителей | $a\cdot b=b\cdot a$ | Умножение, деление | От перестановки множителей произведение не меняется: одинаковый прямоугольный набор можно считать по строкам или по столбцам. |
| Умножение на ноль | $a\cdot 0=0,\quad 0\cdot a=0$ | Умножение, деление | Если число умножить на ноль или ноль умножить на число, произведение равно нулю, потому что нет ни одной заполненной группы. |
| Умножение на единицу | $a\cdot 1=a,\quad 1\cdot a=a$ | Умножение, деление | Если число умножить на единицу или единицу умножить на число, произведение равно этому же числу, потому что количество не увеличивается. |
| Деление на равные части | $x=N:k$ | Умножение, деление | При делении на равные части общее количество N распределяют поровну на k групп и находят, сколько будет в одной группе после распределения. |
| Число групп при делении | $m=N:q$ | Умножение, деление | Чтобы узнать число одинаковых групп, общее количество N делят на количество предметов q в одной группе и получают число полных наборов. |
| Неизвестный множитель | $x=P:a$ | Умножение, деление | Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делят на известный множитель и проверяют ответ обратным умножением в исходной записи. |
| Стоимость покупки по цене и количеству | $C=p\cdot n$ | Стоимость, движение | Стоимость покупки равна цене одного предмета, умноженной на количество одинаковых предметов, если все они продаются по одной цене. |
| Умножение суммы на число | $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ | Умножение, деление | Умножение суммы на число позволяет сначала сложить числа в скобках, а можно умножить каждое слагаемое на это число и сложить результаты. |
| Деление суммы на число | $(a+b):c=a:c+b:c$ | Умножение, деление | Деление суммы на число разрешает разделить каждое слагаемое на одно и то же число и сложить частные, если такие деления выполняются без остатка. |
| Порядок действий без скобок | $\text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$ | Умножение, деление | В выражениях без скобок сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо. |
| Порядок действий со скобками | $\text{скобки} \; \rightarrow \; \text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$ | Умножение, деление | Если в выражении есть скобки, сначала выполняют действия внутри скобок, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. |
| Неизвестное делимое | $x:a=b \Rightarrow x=b\cdot a$ | Умножение, деление | Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель: если x : a = b, то x = b · a, а затем проверить ответ обратным делением. |
| Неизвестный делитель | $a:x=b \Rightarrow x=a:b$ | Умножение, деление | Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное: если a : x = b, то x = a : b, а правильность проверяется исходным делением. |
| Деление с остатком | $a=b\cdot q+r,\quad 0\le r<b$ | Умножение, деление | При делении с остатком делимое равно произведению делителя и неполного частного плюс остаток, причем остаток всегда меньше делителя. |
| Площадь прямоугольника по клеткам | $S=a\cdot b$ | Точка, прямая | Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины: формула показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри прямоугольника. |
| Площадь квадрата | $S=a\cdot a$ | Точка, прямая | Площадь квадрата равна произведению стороны самой на себя, потому что у квадрата длина и ширина одинаковы и образуют квадратную сетку. |
| Периметр многоугольника | $P=a_1+a_2+\dots+a_n$ | Точка, прямая | Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон: нужно пройти по границе фигуры и сложить каждую сторону по порядку. |
| Разрядная запись многозначного числа | $N=a_n\cdot10^n+a_{n-1}\cdot10^{n-1}+\dots+a_1\cdot10+a_0$ | Натуральные числа, делимость | Разрядная запись показывает, что многозначное число состоит из единиц, десятков, сотен, тысяч и других разрядов, умноженных на степени 10. |
| Среднее арифметическое нескольких чисел | $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$ | Натуральные числа, делимость | Среднее арифметическое равно сумме всех чисел, деленной на их количество; оно показывает равное значение, которое заменяет набор чисел. |
| Дробь как часть целого | $\frac{m}{n}=m\cdot\frac{1}{n}$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Обыкновенная дробь m/n показывает m равных частей целого, если целое разделено на n одинаковых частей, и помогает записывать доли величин, которые нельзя удобно выразить только целыми числами. |
| Нахождение части числа по дроби | $\text{часть}=A\cdot\frac{m}{n}=A:n\cdot m$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы найти дробь от числа, можно разделить число на знаменатель и умножить результат на числитель, сохраняя смысл равных долей целого и единицы исходной величины. |
| Нахождение числа по его дроби | $A=\text{часть}:m\cdot n$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы найти целое по известной дробной части, нужно известную часть разделить на числитель и умножить на знаменатель дроби; это обратная задача к нахождению доли. |
| Признаки делимости на 2, 5 и 10 | $n\vdots2\Leftrightarrow a_0\in\{0,2,4,6,8\},\quad n\vdots5\Leftrightarrow a_0\in\{0,5\},\quad n\vdots10\Leftrightarrow a_0=0$ | Арифметика и теория чисел | Признаки делимости на 2, 5 и 10 позволяют определить делимость натурального числа по последней цифре, не выполняя деление столбиком. |
| Признаки делимости на 3 и 9 | $n\vdots3\Leftrightarrow S(n)\vdots3,\quad n\vdots9\Leftrightarrow S(n)\vdots9$ | Арифметика и теория чисел | Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится соответственно на 3 или 9, поэтому большое число можно проверить коротким сложением цифр. |
| Простые и составные числа | $p>1,\;D(p)=\{1,p\}$ | Арифметика и теория чисел | Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число; составное число имеет больше двух натуральных делителей. |
| Разложение числа на простые множители | $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$ | Арифметика и теория чисел | Разложение на простые множители представляет составное число как произведение простых чисел, часто с использованием степеней одинаковых множителей. |
| Наибольший общий делитель | $\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$ | Арифметика и теория чисел | Наибольший общий делитель двух чисел равен произведению общих простых множителей, взятых в меньших степенях, и показывает самую большую общую меру чисел. |
| Наименьшее общее кратное | $\operatorname{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$ | Арифметика и теория чисел | Наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению всех простых множителей из разложений, взятых в больших степенях. |
| Сокращение дроби по НОД | $\frac{a}{b}=\frac{a:d}{b:d},\quad d=\gcd(a,b)$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы сократить дробь максимально, числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель, сохраняя значение дроби и получая несократимую запись. |
| Приведение дробей к общему знаменателю | $\frac{a}{m}=\frac{a\cdot(k/m)}{k},\quad \frac{b}{n}=\frac{b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, обычно берут НОК знаменателей и домножают числители на дополнительные множители. |
| Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями | $\frac{a}{m}\pm\frac{b}{n}=\frac{a\cdot(k/m)\pm b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие с числителями. |
| Умножение обыкновенных дробей | $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},\quad b\ne0,\;d\ne0$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | При умножении обыкновенных дробей перемножают числители и знаменатели, а затем при возможности сокращают результат до несократимой дроби. |
| Дифференцирование и интегрирование степенных рядов | $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n \Rightarrow f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-a)^{n-1},\quad \int f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$ | Пределы, ряды | Дифференцирование и интегрирование степенных рядов: формула f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n \Rightarrow f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-a)^{n-1},\quad \int f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется найти производную или диффер... |
| Пропорция и основное свойство пропорции | $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad=bc$ | Алгебра | Основное свойство пропорции говорит: если две дроби равны, то произведение крайних членов равно произведению средних. Это главный способ решать пропорции с неизвестным. |
| Процент от числа в задачах 7 класса | $p\%\text{ от }a=\frac{p}{100}\cdot a$ | Арифметика и теория чисел | Процент от числа показывает, какая часть величины соответствует p сотым долям. Формула переводит проценты в дробь и умножает эту дробь на исходное число. |
| Число по его проценту | $a=\frac{b\cdot100}{p}$ | Арифметика и теория чисел | Число по его проценту находят, когда известна часть b и известно, что эта часть составляет p% от целого. Формула восстанавливает исходное целое делением на долю. |
| Сила давления через давление и площадь | $F=pS$ | Давление, жидкости и газы | Сила давления через давление и площадь находится по F=pS, если давление равномерно действует перпендикулярно выбранному участку поверхности. |
| Площадь опоры по силе и давлению | $S=\frac{F}{p}$ | Давление, жидкости и газы | Площадь опоры по силе и давлению: формула S=\frac{F}{p} помогает связать давление, силу, площадь, глубину или выталкивание в одной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Гидростатическое давление в жидкости | $p=\rho gh$ | Давление, жидкости и газы | Гидростатическое давление в жидкости: формула p=\rho gh помогает связать давление, силу, площадь, глубину или выталкивание в одной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Полное давление в жидкости | $p=p_0+\rho gh$ | Давление, жидкости и газы | Полное давление в жидкости: формула p=p_0+\rho gh помогает связать давление, силу, площадь, глубину или выталкивание в одной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Глубина по гидростатическому давлению | $h=\frac{p}{\rho g}$ | Давление, жидкости и газы | Глубина по гидростатическому давлению: формула h=\frac{p}{\rho g} помогает связать давление, силу, площадь, глубину или выталкивание в одной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Плотность жидкости по давлению и глубине | $\rho=\frac{p}{gh}$ | Давление, жидкости и газы | Плотность жидкости по давлению и глубине: формула \rho=\frac{p}{gh} помогает связать давление, силу, площадь, глубину или выталкивание в одной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Сила давления жидкости на дно | $F=\rho ghS$ | Давление, жидкости и газы | Сила давления жидкости на дно: формула F=\rho ghS помогает связать давление, силу, площадь, глубину или выталкивание в одной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Закон Паскаля для жидкости | $\Delta p=\frac{F}{S}$ | Давление, жидкости и газы | Закон Паскаля для жидкости: формула \Delta p=\frac{F}{S} помогает связать давление, силу, площадь, глубину или выталкивание в одной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Гидравлический пресс: отношение сил | $\frac{F_2}{F_1}=\frac{S_2}{S_1}$ | Давление, жидкости и газы | Гидравлический пресс: отношение сил: формула \frac{F_2}{F_1}=\frac{S_2}{S_1} помогает связать давление, силу, площадь, глубину или выталкивание в одной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Сила на большом поршне пресса | $F_2=F_1\frac{S_2}{S_1}$ | Давление, жидкости и газы | Сила на большом поршне пресса: формула F_2=F_1\frac{S_2}{S_1} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется требуется модель давления или равновесия уже выбрана и в условии можно явно выделить F_1 — сила на малом поршне; S_1 — площадь малого поршня; S_2 — площадь большого поршня; F_2 — сила... |
| Выигрыш в силе гидравлического пресса | $K=\frac{S_2}{S_1}$ | Давление, жидкости и газы | Выигрыш в силе гидравлического пресса: формула K=\frac{S_2}{S_1} помогает связать давление, силу, площадь, глубину или выталкивание в одной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Барометр Торричелли: давление столба ртути | $p=\rho gh$ | Давление, жидкости и газы | Барометр Торричелли: давление столба ртути: формула p=\rho gh помогает связать давление, силу, площадь, глубину или выталкивание в одной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Нормальное атмосферное давление | $p_0=1\,\text{атм}=101325\,\text{Па}=101{,}325\,\text{кПа}\approx760\,\text{мм рт. ст.}$ | Давление, жидкости и газы | Нормальное атмосферное давление — стандартное значение давления воздуха: 1 атм = 101325 Па = 101,325 кПа, что примерно соответствует 760 мм рт. ст. |
| Сила атмосферного давления | $F=p_{atm}S$ | Давление, жидкости и газы | Сила атмосферного давления: формула F=p_{atm}S помогает связать давление, силу, площадь, глубину или выталкивание в одной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Абсолютное и избыточное давление | $p_{abs}=p_{atm}+p_{izb}$ | Давление, жидкости и газы | Абсолютное и избыточное давление: формула p_{abs}=p_{atm}+p_{izb} помогает связать давление, силу, площадь, глубину или выталкивание в одной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |