Все формулы РФ

Математика / Умножение, деление

Порядок действий со скобками

Если в выражении есть скобки, сначала выполняют действия внутри скобок, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаФормулы по математике за 3 классАрифметикаУмножение, делениеЕсть историческая справка

Формула

$$\text{скобки} \; \rightarrow \; \text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$$

Обозначения

$( )$
скобки, которые выделяют действие или часть выражения, знак записи
·, :
умножение и деление после выполнения скобок, зависит от задачи
$+, -$
сложение и вычитание после действий второй ступени, зависит от задачи

Условия применения

  • Скобки должны охватывать ту часть выражения, которую нужно выполнить первой.
  • После вычисления скобок оставшееся выражение считают по обычному порядку действий.
  • Если скобок несколько, сначала выполняют действия в каждой паре скобок слева направо или по вложенности.

Ограничения

  • Скобки нельзя ставить случайно: они меняют значение выражения.
  • Если в скобках несколько действий, внутри скобок тоже соблюдают порядок действий.
  • Скобки не отменяют смысл задачи: перед записью нужно понять, что именно требуется найти сначала.

Подробное объяснение

Скобки - это способ управлять порядком действий. Обычное правило говорит, что умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания. Но в задачах часто сначала нужно найти сумму или разность, а уже потом умножить результат. Тогда используются скобки. Например, если было 30 рублей, потратили 6 рублей, а оставшуюся сумму умножили на 3 одинаковых дня, запись будет (30 - 6) · 3.

В 3 классе важно различать два вопроса: что означает выражение и как его считать. Скобки помогают записать смысл задачи в правильном порядке. Если сначала нужно узнать, сколько осталось, эта разность должна быть в скобках. Если сначала нужно узнать стоимость нескольких предметов, умножение может идти без скобок, потому что оно и так выполняется раньше.

После вычисления скобок выражение не заканчивается. Нужно переписать его короче и продолжить по обычному правилу: умножение и деление, затем сложение и вычитание. Такой пошаговый подход уменьшает ошибки и делает решение проверяемым.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите все скобки в выражении.
  2. Выполните действия внутри скобок, соблюдая порядок действий внутри них.
  3. Перепишите выражение без вычисленных скобок.
  4. Продолжите вычисление по правилу: умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Историческая справка

Скобки как часть математической записи развивались постепенно. До привычных круглых скобок математики использовали слова, черты над выражениями и другие способы показать, какую часть нужно считать вместе. Когда записи стали короче и сложнее, специальные знаки группировки стали необходимы: без них выражения можно было понять по-разному.

В школьной арифметике скобки выполняют ту же задачу, что и в более высокой математике: они делают структуру выражения видимой. Исторически это пример того, как математический язык становился точнее. Для ученика 3 класса скобки важны не как отдельный символ, а как указатель первого действия в решении задачи и примера.

Историческая линия формулы

У правила работы со скобками нет одного автора. Оно относится к истории развития математической символики и соглашений о записи выражений; современные учебные правила являются упрощенной школьной формой этих общих соглашений.

Пример

Сравним два выражения: 30 - 6 · 3 и (30 - 6) · 3. В первом скобок нет, поэтому сначала 6 · 3 = 18, затем 30 - 18 = 12. Во втором выражении скобки заставляют сначала выполнить вычитание: 30 - 6 = 24, затем 24 · 3 = 72. Записи похожи, но результаты разные. Это показывает, что скобки не являются украшением. Они говорят, какую часть решения нужно выполнить раньше обычного порядка действий. Поэтому при решении задач скобки ставят только тогда, когда сначала нужно найти промежуточную величину по смыслу.

Частая ошибка

Частая ошибка - увидеть скобки и выполнить только первое действие внутри них, хотя внутри скобок тоже может быть несколько действий. Вторая ошибка - убрать скобки без изменения смысла: (20 + 4) · 2 нельзя заменить на 20 + 4 · 2. Третья ошибка - ставить скобки вокруг всего выражения, где они ничего не меняют, и думать, что так решение стало понятнее. Скобки должны показывать реальный первый шаг, а не просто делать запись длиннее.

Практика

Задачи с решением

Два похожих выражения

Условие. Вычислите (16 + 8) : 4 + 5.

Решение. Сначала скобки: 16 + 8 = 24. Затем деление: 24 : 4 = 6. Затем сложение: 6 + 5 = 11.

Ответ. 11

Задача с остатком денег

Условие. У Пети было 100 рублей. Он купил книгу за 40 рублей. Оставшиеся деньги он разделил поровну на 3 дня. Сколько рублей на день?

Решение. Сначала нужно найти остаток, поэтому нужны скобки: (100 - 40) : 3 = 60 : 3 = 20.

Ответ. 20 рублей

Дополнительные источники

  • OpenStax Prealgebra 2e: Whole Numbers, Order of Operations

Связанные формулы

Математика

Порядок действий без скобок

$\text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$

В выражениях без скобок сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо.

Математика

Умножение суммы на число

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Умножение суммы на число позволяет сначала сложить числа в скобках, а можно умножить каждое слагаемое на это число и сложить результаты.

Математика

Деление суммы на число

$(a+b):c=a:c+b:c$

Деление суммы на число разрешает разделить каждое слагаемое на одно и то же число и сложить частные, если такие деления выполняются без остатка.