Аналитическая геометрия
Конические сечения
Формулы для окружности, эллипса, гиперболы, параболы, фокусов, директрис, касательных и асимптот.
17 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Каноническое уравнение эллипса | $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$ | Прямые, плоскости | Канонический вид описывает эллипс через полуоси a и b и центр (h,k): точки с постоянной суммой расстояний до фокусов формируют замкнутую кривую. |
| Расстояние от центра до фокуса эллипса | $c=\sqrt{a^2-b^2},\quad e=\frac{c}{a}$ | Прямые, плоскости | Для эллипса параметры фокусов определяются через полуоси: расстояние от центра до фокуса c и эксцентриситет e описывают форму и вытянутость кривой. |
| Каноническое уравнение гиперболы | $\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ | Прямые, плоскости | Канонический вид горизонтальной гиперболы задает ее оси симметрии через h,k и полуоси a,b. По знаку между дробями выбирается открытие ветвей по горизонтали или вертикали. |
| Асимптоты гиперболы в канонических координатах | $y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)$ | Прямые, плоскости | Асимптоты описывают направление ветвей гиперболы и ее поведение на бесконечности. Это линейные прямые, к которым график гиперболы приближается. |
| Каноническое уравнение параболы | $y-k = a(x-h)^2$ | Прямые, плоскости | Каноническая запись параболы связывает ее вершину (h,k) и параметр раскрытия a. При знаке a определяется направление ветвей по оси y. |
| Парабола через фокус и директрису | $\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\left|\frac{Ax+B y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$ | Прямые, плоскости | Определение параболы через фокус и директрису: расстояние от точки кривой до фокуса равно расстоянию от точки до директрисы. Это формула-идея для построения и проверки уравнения параболы. |
| Общее уравнение кривой второго порядка | $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ | Прямые, плоскости | Общее уравнение второй степени на плоскости объединяет уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы до поворота и переноса координат. |
| Классификация коники по дискриминанту | $\delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип}$ | Прямые, плоскости | Знак B^2-4AC однозначно определяет тип коники после удаления сдвига и поворота, если кривая не вырождена. Формула "Классификация коники по дискриминанту" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов. |
| Центр коники из линейной системы | $\begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases}$ | Прямые, плоскости | Для коник с A^2 + AC + C^2 > 0 центр (h,k) находится как решение линейной системы, обнуляющей линейные члены после переноса. |
| Угол поворота осей для устранения члена xy | $\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}$ | Прямые, плоскости | Поворотом на угол θ убирается смешанный член xy в квадратичной форме второго порядка. Формула "Угол поворота осей для устранения члена xy" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов. |
| Перенос начала координат в центр коники | x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0 |
Прямые, плоскости | После нахождения центра (h,k) подстановка x=X+h, y=Y+k удаляет линейные члены X и Y. Формула "Перенос начала координат в центр коники" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов. |
| Полуоси эллипса после диагонализации | $\lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i}$ | Прямые, плоскости | После переноса и поворота эллипс приводится к виду \lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+J=0 и полуоси выражаются через собственные значения. |
| Полуоси гиперболы после диагонализации | $\lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|}$ | Прямые, плоскости | Для гиперболы после центрирования и поворота одно собственное значение имеет знак минус, другое плюс, из чего напрямую получаются полуоси. |
| Вершина и ось параболы через выделение квадрата | $(Y-k)^2=2p(X-h)\quad \text{или}\quad (X-h)^2=2p(Y-k)$ | Прямые, плоскости | После поворота (если нужно) и смещения, парабола сводится к квадратному выражению относительно одной переменной: это сразу даёт ось и вершину. |
| Критерий вырожденной коники через определитель | $\Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0$ | Прямые, плоскости | Если детерминант квадратичной формы с линейными и свободным членом равен нулю, возможна вырождённая коника (две прямые, точка, пустое множество). |
| Инвариант следа квадратичной части коники | $A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}$ | Прямые, плоскости | След квадратичной формы сохраняется при ортогональном повороте; после диагонализации это удобно как контроль правильности вычислений. |
| Коника в полярных координатах через фокус и директрису | $r=\frac{\ell}{1+e\cos\varphi}$ | Прямые, плоскости | Полярная форма коники с фокусом в полюсе описывает эллипс, параболу или гиперболу через эксцентриситет e и фокальный параметр ℓ. |