Аналитическая геометрия

Геометрия в пространстве

Формулы для точек, векторов, прямых, плоскостей, углов и расстояний в трехмерных координатах.

41 формула

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Расстояние между двумя точками в пространстве	$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$	Прямые, плоскости	Расстояние между двумя точками в пространстве: формула d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} помогает найти расстояние по координатам, точке, прямой или плоскости. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Вектор между двумя точками в пространстве	$\vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$	Прямые, плоскости	Вектор между двумя точками в пространстве: формула \vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Уравнение плоскости по точке и нормали	$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$	Прямые, плоскости	Уравнение плоскости по точке и нормали: формула A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Расстояние от точки до плоскости	$d=\frac{\|Ax_0+By_0+Cz_0+D\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$	Прямые, плоскости	Расстояние от точки до плоскости равно модулю подстановки координат точки в уравнение плоскости, деленному на длину нормального вектора плоскости.
Угол между двумя плоскостями	$\cos\varphi=\frac{\|\vec n_1\cdot\vec n_2\|}{\|\vec n_1\|\|\vec n_2\|}$	Прямые, плоскости	Угол между двумя плоскостями: формула \cos\varphi=\frac{\|\vec n_1\cdot\vec n_2\|}{\|\vec n_1\|\|\vec n_2\|} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется найти угол через векторы, нормали или направляющие. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Угол между прямой и плоскостью	$\sin\alpha=\frac{\|\vec n\cdot\vec v\|}{\|\vec n\|\|\vec v\|}$	Прямые, плоскости	Угол между прямой и плоскостью: формула \sin\alpha=\frac{\|\vec n\cdot\vec v\|}{\|\vec n\|\|\vec v\|} помогает найти угол через векторы, нормали или направляющие. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Параметрическое уравнение прямой в пространстве	$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right.$	Прямые, плоскости	Параметрическое уравнение прямой в пространстве: формула \left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right. помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Расстояние от точки до прямой в пространстве	$d=\frac{\|(\vec r_0-\vec r_1)\times\vec v\|}{\|\vec v\|}$	Прямые, плоскости	Расстояние от точки до прямой в пространстве: формула d=\frac{\|(\vec r_0-\vec r_1)\times\vec v\|}{\|\vec v\|} помогает найти расстояние по координатам, точке, прямой или плоскости. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Объем параллелепипеда через смешанное произведение	$V=\|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)\|$	Прямые, плоскости	Объем параллелепипеда через смешанное произведение: формула V=\|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)\| помогает получить площадь или объем из координатной модели. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Компланарность четырех точек через смешанное произведение	$V=\left\|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right\|=0$	Прямые, плоскости	Компланарность четырех точек через смешанное произведение: формула V=\left\|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right\|=0 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется смешанное произведение соответствующих трех направляющих векторов равно нулю. В тексте есть условия, пример, ошибки и провер...
Уравнение плоскости через три точки через определитель	$\left\|\begin{matrix}x & y & z & 1\\x_1 & y_1 & z_1 & 1\\x_2 & y_2 & z_2 & 1\\x_3 & y_3 & z_3 & 1\end{matrix}\right\|=0$	Прямые, плоскости	Уравнение плоскости через три неколлинеарные точки получают из равенства нулю определителя, составленного по координатам этих точек и произвольной точки плоскости.
Нормаль плоскости через векторное произведение	$\vec n=(\overrightarrow{AB})\times(\overrightarrow{AC})$	Прямые, плоскости	Нормаль к плоскости можно найти как векторное произведение двух неколлинеарных направлений, лежащих в этой плоскости. Она нужна для построения уравнений плоскостей, расстояний и углов в пространственных координатных задачах.
Параметр пересечения прямой и плоскости	$t= -\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A l + B m + C n},\quad x=x_0+lt,\ y=y_0+mt,\ z=z_0+nt$	Прямые, плоскости	Формула "Параметр пересечения прямой и плоскости" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
Направляющий вектор линии пересечения двух плоскостей	$\vec d = \vec n_1 \times \vec n_2$	Прямые, плоскости	Формула "Направляющий вектор линии пересечения двух плоскостей" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
Угол между прямыми в пространстве	$\cos\varphi = \frac{\|\vec u\cdot\vec v\|}{\\|\vec u\\|\,\\|\vec v\\|}$	Прямые, плоскости	Формула "Угол между прямыми в пространстве" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
Расстояние между скрещивающимися прямыми	$d=\frac{\|(\vec p_2-\vec p_1)\cdot(\vec u\times\vec v)\|}{\\|\vec u\times\vec v\\|}$	Прямые, плоскости	Расстояние между скрещивающимися прямыми равно модулю смешанного произведения соединяющего вектора и двух направлений, деленному на длину их векторного произведения.
Расстояние между параллельными плоскостями	$d=\frac{\|D_2-D_1\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\quad Ax+By+Cz+D_1=0,\ Ax+By+Cz+D_2=0$	Прямые, плоскости	Если две плоскости параллельны и приведены к одной нормали, расстояние между ними равно модулю разности свободных членов, деленному на длину нормали.
Проекция точки на плоскость	$t=-\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A^2+B^2+C^2},\quad x'=x_0+tA,\ y'=y_0+tB,\ z'=z_0+tC$	Прямые, плоскости	Формула "Проекция точки на плоскость" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
Отражение точки относительно плоскости	$P''=P-2\frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A^2+B^2+C^2}(A,B,C)$	Прямые, плоскости	Формула "Отражение точки относительно плоскости" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
Проекция точки на прямую в пространстве	$t=\frac{(\vec P-\vec P_0)\cdot\vec v}{\\|\vec v\\|^2},\quad \vec P' = \vec P_0+t\vec v$	Прямые, плоскости	Формула "Проекция точки на прямую в пространстве" описывает взаимное положение прямых, плоскостей и точек в пространстве через координаты, векторы и ортогональные построения.
Уравнение сферы по центру и радиусу	$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$	Прямые, плоскости	Сфера с центром в точке (x0,y0,z0) и радиусом R состоит из всех точек пространства, расстояние от которых до центра равно R.
Сфера по концам диаметра	$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0$	Прямые, плоскости	Сфера по концам диаметра задается условием прямого угла: точка сферы видит отрезок между концами диаметра под углом 90 градусов.
Касательная плоскость к сфере	$(x_1-x_0)(x-x_1)+(y_1-y_0)(y-y_1)+(z_1-z_0)(z-z_1)=0$	Прямые, плоскости	Касательная плоскость к сфере в точке P перпендикулярна радиусу CP, поэтому ее нормалью служит вектор от центра к точке касания.
Каноническое уравнение эллипсоида	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	Прямые, плоскости	Эллипсоид является замкнутой квадрикой, у которой все три координатных сечения имеют форму эллипсов или окружностей и ограничивают конечное тело.
Однополостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	Прямые, плоскости	Однополостный гиперболоид имеет две положительные квадратичные координаты и одну отрицательную, а его сечения z=const являются эллипсами.
Двуполостный гиперболоид	$\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	Прямые, плоскости	Двуполостный гиперболоид имеет один положительный квадратный член и два отрицательных, поэтому поверхность распадается на две отдельные части.
Эллиптический параболоид	$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$	Прямые, плоскости	Эллиптический параболоид раскрывается вдоль одной оси, а его горизонтальные сечения при z>0 являются эллипсами, поэтому поверхность выглядит как чаша.
Гиперболический параболоид	$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$	Прямые, плоскости	Гиперболический параболоид является седловой поверхностью: в одном вертикальном сечении он раскрывается вверх, а в другом вниз.
Конус второго порядка	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$	Прямые, плоскости	Конус второго порядка является вырожденной квадрикой, у которой сечения z=const дают подобные эллипсы, сходящиеся к вершине.
Цилиндрическая поверхность через независимость координаты	$F(x,y)=0\quad \text{in 3D, independent of } z$	Прямые, плоскости	Цилиндрическая поверхность в пространстве возникает, когда уравнение не содержит одну координату, поэтому плоская кривая протягивается вдоль соответствующей оси.
Перенос начала координат в пространстве	$x'=x-a,\quad y'=y-b,\quad z'=z-c$	Прямые, плоскости	Перенос начала координат в пространстве заменяет старые координаты точки на новые относительно начала O'(a,b,c), не меняя саму геометрию.
Матрица поворота вокруг оси z	$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$	Прямые, плоскости	Матрица поворота вокруг оси z активно поворачивает точку в плоскости xy на угол θ, оставляя координату z неизменной и сохраняя длины.
Тройной интеграл	$\iiint_G f(x,y,z)\,dV=\lim_{\max \Delta V_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\,\Delta V_i$	Пределы, ряды	Тройной интеграл: формула \iiint_G f(x,y,z)\,dV=\lim_{\max \Delta V_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\,\Delta V_i помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Цилиндрические координаты	$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$	Пределы, ряды	Цилиндрические координаты: формула x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Сферические координаты	$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$	Пределы, ряды	Сферические координаты: формула x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Объем через тройной интеграл	$V(G)=\iiint_G 1\,dV$	Пределы, ряды	Объем через тройной интеграл: формула V(G)=\iiint_G 1\,dV помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется получить геометрический объем или проверить объемную модель распределения. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Поверхностный интеграл первого рода	$\iint_S g\,dS=\iint_D g(\mathbf r(u,v))\,\\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\\|\,du\,dv$	Пределы, ряды	Поверхностный интеграл первого рода: формула \iint_S g\,dS=\iint_D g(\mathbf r(u,v))\,\\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\\|\,du\,dv помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Поток векторного поля через поверхность	$\Phi=\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS=\iint_S (P n_1+Q n_2+R n_3)\,dS$	Пределы, ряды	Поток векторного поля через поверхность: формула \Phi=\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS=\iint_S (P n_1+Q n_2+R n_3)\,dS помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Дивергенция векторного поля	$\nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$	Пределы, ряды	Дивергенция векторного поля: формула \nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Теорема Гаусса-Остроградского	$\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf F)\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$	Пределы, ряды	Теорема Гаусса-Остроградского: формула \iiint_V (\nabla\cdot\mathbf F)\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.