Математика / Пределы, ряды

Теорема Стокса

Теорема Стокса связывает поток ротора через поверхность с интегралом 2 рода по ее ориентированному краю. Она обобщает идею Грина на трехмерные поверхности и связывает локальную завихренность с граничной циркуляцией.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r

Обозначения

$\mathbf n$: единичная нормаль к поверхности, безразмерная
$\partial S$: ориентированный контур границы, кривая
$\mathbf F$: векторное поле, векторная
$\nabla\times\mathbf F$: ротор, 1/м

Условия применения

Поверхность должна быть ориентируемой, а ее граница — ориентированной согласно нормали.
Поля и производные должны существовать в области, содержащей S и ее границу.
Если поверхность не простая, используют разбиение и аккуратную сборку контуров.

Ограничения

Неправильное правило правой руки для ориентации границы меняет знак.
Для неориентируемых поверхностей формула в стандартном виде неприменима.
Ошибки в параметризации кривой также дают неверный итог.

Подробное объяснение

Теорема Стокса демонстрирует общность: криволинейная интегральная формулировка и поверхностная через ротор — две стороны одной геометрической идеи. Это удобный инструмент для изменения вида задачи на удобный для вычислений.

Как пользоваться формулой

Установите ориентированную поверхность S и ее границу C с согласованной нормалью.
Вычислите ротора поля, затем скалярное произведение с нормалью.
Выберите интеграл, который проще считать: по краю или по поверхности.
После подсчета проверьте, что ориентации C и n согласованы через правило правой руки.

Историческая справка

Теорема Стокса — важный этап в систематизации дифференциальных форм и векторного анализа XIX–XX веков, когда возникла необходимость связывать границы и области разных измерений в единой формуле. Сегодня она относится к числу базовых инструментов физической математики.

Историческая линия формулы

Характерное имя связывается с Джорджем Стоксом, но формула сформировалась на базе более ранних интегральных идей и геометрического анализа. Корректно видеть здесь результат долгой математической унификации, а не изолированное открытие.

Пример

Если контура много и сложен, но поверхность к нему проще, интеграл по контуру можно перевести в интеграл по поверхности. Особенно полезно в задачах с симметрией, когда ротор постоянен или просто интегрируется.

Частая ошибка

Часто путают теорему Стокса с Гауссом, подставляя дивергенцию вместо ротора или меняя измерение интеграла. Ещё ошибка — брать контур с неверной ориентацией относительно нормали поверхности, после чего полученный ответ отличается знаком. Распространен сбой при параметризации: нормаль из параметризации и направление границы не совпадают, и формула кажется «не работает».

Практика

Задачи с решением

Дисковая поверхность

Условие. \mathbf F=\left(-\frac y2,\frac x2,0\right),\;S:\ z=0,\;x^2+y^2\le1

Решение. \nabla\times\mathbf F=(0,0,1),\;\iint_S 1\,dS=\pi. Классический контурная сторона даёт то же значение.

Ответ. \pi

Проверка на треугольнике

Условие. \mathbf F=(-y,x,0),\;C:\; (0,0)\to(1,0)\to(0,1)\to(0,0)

Решение. По формуле Стокса нужно считать \iint_S (0,0,2)\cdot k\,dS =2\cdot\text{Area}(S)=1. Линейный расчет по сегментам дает также 1.

Ответ. 1

Дополнительные источники

Marsden, Tromba, Vector Calculus
Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability

Связанные формулы

Математика

Ротор векторного поля

$\nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$

Ротор описывает локальную циркуляцию (вихревость) поля. Он показывает, в каком направлении и с какой интенсивностью маленький элемент среды «крутится» под действием поля в окрестности точки.

Математика

Криволинейный интеграл второго рода

$\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt$

Криволинейный интеграл 2 рода учитывает направление движения вдоль траектории. Его удобно записывать как интеграл скалярного произведения векторного поля с дифференциалом перемещения, поэтому он чувствителен к ориентации и может быть положительным или отрицательным.

Математика

Теорема Грина

$\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

Теорема Грина связывает ориентированный интеграл по замкнутому контуру с двойным интегралом по области в плоскости. Это ключевая связь между циркуляцией по границе и «внутренней» завихренностью через Q_x−P_y.