Все формулы РФ

Математика / Пределы, ряды

Теорема Грина

Теорема Грина связывает ориентированный интеграл по замкнутому контуру с двойным интегралом по области в плоскости. Это ключевая связь между циркуляцией по границе и «внутренней» завихренностью через Q_x−P_y.

Опубликовано: Обновлено:

Математический анализГеометрияДифференциальное исчислениеРасчет площадей

Формула

$$\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$$

Обозначения

$P,Q$
компоненты поля в плоскости, векторные
$\partial D$
ориентированная граница области D, кривая
$dA$
элемент площади области, м^2

Условия применения

  • Область D должна быть односвязной или иметь корректную теорию для применимости в данном виде.
  • Достаточная гладкость P и Q в области закрытия области.
  • Контур должен обходить область против часовой стрелки относительно положительной ориентации.

Ограничения

  • Если область имеет сложную топологию, требуется разбиение на куски или расширенная формулировка.
  • Знак зависит от ориентации контура; обратный обход дает противоположный результат.
  • На границе нельзя просто переносить производные через точки разрыва без проверки.

Подробное объяснение

Теорема дает мост между «краем» и «внутренностью». Площадной интеграл от производной выражает суммарную локальную скрученность, а контурурующий интеграл — суммарный эффект вдоль границы. Это делает вычисления гибкими: выбирают более удобную сторону.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите поле через P и Q и проверьте, что нужная область D подходит по предпосылкам.
  2. Вычислите Q_x и P_y и упростите разность Q_x-P_y.
  3. Поставьте ориентированный двойной интеграл по D в удобных координатах.
  4. Сравните полученный результат с прямым расчетом по контуру для проверки знака и величины.

Историческая справка

Теорема Грина является планарной формой более общей идеи связи интегральных и дифференциальных выражений. Она формировалась в контексте анализа вектора и теории поля, где стало понятно, что работа по границе и «внутренняя» циркуляция взаимозависимы.

Историческая линия формулы

Название указывает на вклад Джорджа Грина, но исторически это результат объединения нескольких линий развития: комплексного анализа, дифференциального исчисления и геометрических идей. Корректно говорить о формуле как о классическом переходе между граничными и внутренними представлениями, а не о полномочном изобретении одного источника.

Пример

В учебных задачах удобно сверять циркуляцию вокруг сложного контура через двойной интеграл внутри: если Q_x−P_y=0, то для любого простого контура интеграл 2 рода нулевой, пока область без особенностей.

Частая ошибка

Часто путают формулу направления интеграла по контуру и берут неверную ориентацию, что приводит к ответу с противоположным знаком. Другая ошибка — подставлять Q_x−P_y в область, где P и Q не дифференцируемы или имеют разрывы. Еще одна — считать, что теорема Грина работает для дырявых областей без разбиения: в таком случае требуется аккуратное применение к каждой компоненте.

Практика

Задачи с решением

Круговой контур с линейным полем

Условие. P=-y,\;Q=x,\;D\text{: }x^2+y^2\le1\ (\text{ориентация CCW})

Решение. Q_x-P_y=1-(-1)=2, поэтому \iint_D2\,dA=2\pi. По контуру это ∮(-y\,dx+x\,dy)=2\pi.

Ответ. 2\pi

Прямоугольная область

Условие. D=[0,1]\times[0,1],\;P=xy,\;Q=\frac{x^2}{2}

Решение. Q_x-P_y=x-y, следовательно \iint_D(x-y)\,dA=\int_0^1(x-y)dxdy=\frac12-\frac12=0.

Ответ. 0

Дополнительные источники

  • Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
  • Marsden, Tromba, Vector Calculus

Связанные формулы

Математика

Криволинейный интеграл второго рода

$\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt$

Криволинейный интеграл 2 рода учитывает направление движения вдоль траектории. Его удобно записывать как интеграл скалярного произведения векторного поля с дифференциалом перемещения, поэтому он чувствителен к ориентации и может быть положительным или отрицательным.

Математика

Теорема Стокса

$\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r$

Теорема Стокса связывает поток ротора через поверхность с интегралом 2 рода по ее ориентированному краю. Она обобщает идею Грина на трехмерные поверхности и связывает локальную завихренность с граничной циркуляцией.

Математика

Потенциальное поле и независимость пути

$\mathbf F=\nabla\varphi \Rightarrow \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A),\;\nabla\times\mathbf F=0\;\text{в односвязной области}$

Поле называется потенциальным, если его криволинейный интеграл 2 рода зависит только от концов пути. В такой ситуации интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, а поле представляется градиентом потенциала.