Все формулы РФ

Математика / Пределы, ряды

Криволинейный интеграл второго рода

Криволинейный интеграл 2 рода учитывает направление движения вдоль траектории. Его удобно записывать как интеграл скалярного произведения векторного поля с дифференциалом перемещения, поэтому он чувствителен к ориентации и может быть положительным или отрицательным.

Опубликовано: Обновлено:

Математический анализГеометрияДифференциальное исчислениеАналитическая геометрия

Формула

$$\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt$$

Обозначения

$P,Q,R$
компоненты поля F, как у F
$C$
ориентируемый контур/траектория, геометрический контур
$\mathbf F$
векторное поле, векторная величина
$\mathbf r(t)$
параметризация кривой, позиция

Условия применения

  • Поле F должно быть задано на кривой и быть интегрируемым в нужной области.
  • Кривая должна быть ориентирована: направление меняет знак интеграла.
  • Если поле имеет разрывы или сингулярности, их нужно отнести вне области или обойти корректно.

Ограничения

  • Нельзя подставлять формулу из 1 рода: там не учитывается направление, и результат будет другим.
  • Неправильная ориентация контура приводит к смене знака.
  • При разрывах поля или на границе области нужно явно указывать ограничения, иначе формула может быть формальной.

Подробное объяснение

Главная особенность 2 рода — интегрирование направленной работы поля по пути. Если приращение движения указывает прямо против выбранного направления поля, вклад уходит со знаком «минус». Формула через компонентную запись с параметризацией удобна для вычислений и дает общий шаблон как для плоских, так и для пространственных траекторий.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите кривую как параметризацию r(t) и определите производные координат.
  2. Подставьте x'(t), y'(t), z'(t) в линейную комбинацию P x'+Q y'+R z'.
  3. Следите за параметром t и его пределами — там закладывается геометрия маршрута.
  4. Если кривая замкнута, проверьте ответ на инвариантность/независимость от параметризации.

Историческая справка

Интегралы второго рода исторически связаны с развитием механики и геометрии движения. Уже у классической механики и анализа формировалась идея суммировать не только величину, но и вклад в конкретном направлении. В XIX веке эта запись стала стандартом для потенциальных и полевых задач: она связывает локальную работу и глобальный эффект на целой траектории, а затем легла в основу теорем Грина и Стокса.

Историческая линия формулы

Сама форма не принадлежит одному автору: это плод общей эволюции векторного анализа, где идеи из анализа, механики и геометрии сошлись в единый язык интегрирования по кривым. Научно корректно говорить об этой формуле как о результате развития метода работы на пути и теории дифференциальных форм, а не о приписываемом индивидуальном открытии.

Пример

В механике выражение \oint \mathbf F\cdot d\mathbf r — это работа по замкнутому контуру. Для консервативного поля она равна нулю, а для поля \mathbf F=(-y,x) на единичной окружности даёт 2π, что отражает крутящий вклад поля относительно центра.

Частая ошибка

Типичная ошибка — путать интеграл 2 рода с 1 родом и подставлять ds вместо ориентационного дифференциала dr, из-за чего знак и размерность становятся некорректными. Вторая частая ошибка — не учитывать, что кривая должна быть ориентирована и для замкнутых контуров имеет значение направление обхода. Часто также путают компоненты P, Q, R с координатами точки или с нормалью поверхности и получают не тот скалярный продукт. Еще ошибка — перезаписывать интеграл по другой параметризации без пересчета x',y',z'.

Практика

Задачи с решением

Ломанная из двух прямых

Условие. \mathbf F=(x,y),\; C:\; r(t)=(t,t),\;0\le t\le1

Решение. Интеграл \int_0^1 (x x'(t)+y y'(t))dt=\int_0^1 (t+t)dt=1.

Ответ. 1

Круговая кривая с полем вращения

Условие. \mathbf F=(-y, x),\; C:\; x=\cos t,\; y=\sin t,\;0\le t\le2\pi

Решение. P x'(t)+Q y'(t)=(-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t)=1. Поэтому \int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi.

Ответ. 2\pi

Дополнительные источники

  • Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
  • Marsden, Tromba, Vector Calculus
  • Spivak, Calculus

Связанные формулы

Математика

Криволинейный интеграл первого рода

$\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt$

Криволинейный интеграл 1 рода суммирует скалярную функцию вдоль кривой, взвешивая ее значение элементом длины дуги. Он применяется, когда величина распределена по траектории: плотность по дороге, массовая распределенность вдоль проволоки или среднее значение по контуру.

Математика

Теорема Грина

$\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

Теорема Грина связывает ориентированный интеграл по замкнутому контуру с двойным интегралом по области в плоскости. Это ключевая связь между циркуляцией по границе и «внутренней» завихренностью через Q_x−P_y.

Математика

Теорема Стокса

$\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r$

Теорема Стокса связывает поток ротора через поверхность с интегралом 2 рода по ее ориентированному краю. Она обобщает идею Грина на трехмерные поверхности и связывает локальную завихренность с граничной циркуляцией.