Математический анализ: дифференциальное исчисление
Дифференциальное исчисление
Базовые формулы производных, касательных, нормалей и правил дифференцирования для университетского курса анализа.
60 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Производная через предел разностного отношения | $f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ | Пределы, ряды | Производная в точке задается пределом разностного отношения и описывает мгновенную скорость изменения функции. Без этой предельной записи производная превращается в набор правил, а не в проверяемое понятие. |
| Правило суммы производных | $\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=f'(x)+g'(x)$ | Пределы, ряды | Правило суммы говорит, что производную суммы можно находить по частям: отдельно продифференцировать каждое слагаемое и затем сложить результаты. |
| Правило разности производных | $\frac{d}{dx}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=f'(x)-g'(x)$ | Пределы, ряды | Правило разности позволяет находить производную выражения с минусом по частям: производная разности равна разности производных. |
| Правило постоянного множителя в производной | $\frac{d}{dx}\bigl(c f(x)\bigr)=c f'(x)$ | Пределы, ряды | Постоянный множитель можно вынести за знак производной: коэффициент перед функцией сохраняется и умножает производную этой функции. |
| Правило произведения производных | $\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ | Пределы, ряды | Производная произведения состоит из двух вкладов: сначала меняется первый множитель при фиксированном втором, затем второй при фиксированном первом. |
| Правило частного производных | $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ | Пределы, ряды | Производная частного равна разности двух вкладов в числителе, деленной на квадрат знаменателя: меняется числитель и меняется знаменатель. |
| Правило сложной функции | $\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$ | Пределы, ряды | Правило сложной функции, или правило цепочки, говорит: производная внешней функции берется в внутреннем выражении и умножается на производную внутренней функции. |
| Производная обратной функции | $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)},\quad y_0=f(x_0),\ f'(x_0)\ne 0$ | Пределы, ряды | Производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции в соответствующей точке, если исходная производная не равна нулю. |
| Логарифмическая производная | $\frac{d}{dx}\ln y=\frac{y'}{y},\quad y'=y\frac{d}{dx}\ln y$ | Пределы, ряды | Логарифмическая производная переводит произведения, степени и частные в суммы и разности, а затем возвращает обычную производную умножением на y. |
| Производная неявной функции | $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)},\quad F_y(x,y)\ne 0$ | Пределы, ряды | Если связь между x и y задана уравнением F(x,y)=0, производную y по x можно найти через частные производные F_x и F_y без явного решения уравнения. |
| Производная параметрической кривой через параметр | $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad \frac{dx}{dt}\ne 0$ | Пределы, ряды | Если кривая задана параметром t, ее наклон в координатах x-y равен отношению скорости изменения y к скорости изменения x. |
| Касательная как линейная модель | $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$ | Пределы, ряды | Касательная в прикладной постановке нужна не только как прямая на чертеже, но и как локальная линейная замена функции. Формула позволяет быстро оценивать малое изменение величины, если известны значение функции и ее производная в одной точке. |
| Нормаль как прикладное перпендикулярное направление | $\vec n=(-f'(x_0),1),\quad y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0$ | Пределы, ряды | Нормаль удобно рассматривать как прикладное перпендикулярное направление к графику. Она нужна там, где важно не само касание, а ось, сила, отражение или геометрическая связь, задаваемая прямым углом к касательной. |
| Возрастание и убывание через знак производной | $f'(x)>0\Rightarrow f \text{ возрастает},\qquad f'(x)<0\Rightarrow f \text{ убывает}$ | Пределы, ряды | Знак первой производной переводит локальный наклон в глобальный вывод о монотонности. По нему удобно строить интервалы возрастания и убывания, не перебирая значения функции вручную на каждом отрезке. |
| Критические точки функции | $x_c:\ f'(x_c)=0\ \text{или}\ f'(x_c)\text{ не существует}$ | Пределы, ряды | Критические точки - это кандидаты на экстремумы, перегибы и другие заметные особенности графика. Они возникают там, где производная обнуляется или вообще не определена, поэтому именно с них удобно начинать исследование функции. |
| Необходимое условие экстремума | $f'(x_0)=0\quad \text{если }x_0\text{ - внутренняя точка экстремума и }f\text{ дифференцируема в }x_0$ | Пределы, ряды | Если функция имеет внутренний экстремум и в этой точке дифференцируема, ее производная обязана быть нулем. Это необходимое, но не достаточное условие, поэтому оно помогает отсеять лишние точки перед более точной проверкой. |
| Достаточный признак экстремума по смене знака производной | $f'(x):\ +\to-\Rightarrow \text{локальный максимум},\qquad f'(x):\ -\to+\Rightarrow \text{локальный минимум}$ | Пределы, ряды | Смена знака первой производной дает уже достаточный вывод об экстремуме. Если функция переходит от роста к убыванию, возникает максимум; если от убывания к росту, получается минимум. |
| Вторая производная как мера изменения наклона | $f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d^2f}{dx^2}$ | Пределы, ряды | Вторая производная показывает, как меняется сам наклон графика. Она связывает первую производную с кривизной поведения функции и подсказывает, ускоряется ли рост наклона или, наоборот, он выравнивается. |
| Выпуклость и вогнутость графика | $f''(x)>0\Rightarrow \text{график выпукл вверх},\qquad f''(x)<0\Rightarrow \text{график выпукл вниз}$ | Пределы, ряды | Знак второй производной описывает, как изгибается график: вверх или вниз. Это помогает понять форму кривой глубже, чем один только знак первой производной, потому что уже речь идет не о движении, а о характере изгиба. |
| Точка перегиба | $x_0\text{ - точка перегиба}\iff f''(x)\text{ меняет знак в }x_0$ | Пределы, ряды | Точка перегиба - это место, где график меняет выпуклость. Для надежного вывода нужно не только заметить ноль второй производной, но и проверить смену ее знака по обе стороны точки. |
| Схема исследования функции | $D(f)\to f'(x)\to \text{знак }f'\to f''(x)\to \text{знак }f''\to \text{вывод о графике}$ | Пределы, ряды | Полная схема исследования функции объединяет область определения, производные, знаки, экстремумы, выпуклость и перегиб. Это рабочий алгоритм, который превращает сложную кривую в последовательность понятных проверок. |
| Понятие первообразной и связь с производной | $F'(x)=f(x)$ | Пределы, ряды | Первообразная — это функция F(x), производная которой совпадает с исходной функцией f(x) на данном промежутке. В практическом смысле это обратное действие к дифференцированию: вместо того, чтобы искать скорость изменения, мы восстанавливаем функцию по известной скорости. Для непрерывной на интервале f(x) первообразная существует на каждом связном подотрезке этого интервала и определяется с точностью до добавления постоянной. Любая другая первообразная той же функции отличается от F(x) на константу. Это базовое понятие запускает блок неопределённого интегрирования. |
| Обозначение неопределённого интеграла | $\int f(x) \,dx = F(x)+C$ | Пределы, ряды | Неопределённый интеграл — это запись класса всех первообразных функции f(x). В отличие от определённого интеграла, здесь не стоит предел интегрирования, и результат всегда даёт семейство функций, отличающихся константой. Запись \(\int f(x)dx\) является краткой формой для «все функции F, у которых производная равна f». Такая форма сохраняет единый смысл в вычислениях и упрощает использование правил интегрирования. |
| Линейность неопределенного интеграла | $\int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx = \alpha\int f(x)\,dx + \beta\int g(x)\,dx$ | Пределы, ряды | Линейность позволяет переносить константы и разносить сумму под интегральным знаком. Это одно из базовых правил вычисления неопределенных интегралов, напрямую вытекающее из линейности производной в обратную сторону. Если интеграл от суммы разложить на сумму интегралов, заметно упрощается вычисление и сводятся сложные выражения к базовым формам. |
| Правило интегрирования степени | \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\; n\neq -1 |
Пределы, ряды | Это базовая формула для степенных функций, обратная производной степени x^{n+1}. Важное условие: показатель n не равен −1, иначе интеграл сводится к \(\ln|x|\). Формула ускоряет интегрирование многочленов и большинства рациональных выражений после разложения. |
| Интеграл от 1/x и логарифмическая форма | $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C$ | Пределы, ряды | Интеграл от обратной функции 1/x — особый ключевой случай. Здесь формула степенного правила неприменима, потому что показатель равен −1, для которого получаем логарифм. Знак модуля делает ответ корректным на интервалах x>0 и x<0 и показывает, что первообразная определена с учётом области. |
| Интеграл экспоненциальной функции | \int e^{kx} \,dx = \frac{e^{kx}}{k}+C,\; k\neq 0 |
Пределы, ряды | Экспоненциальная функция интегрируется обратно почти в себя: интеграл e^{kx} даёт e^{kx}/k. Эта формула — центральная для дифференциальных уравнений, финансовых и физических задач, где процессы роста и затухания описываются показательной зависимостью. Необходимо учитывать коэффициент k в знаменателе. |
| Интегралы синуса и косинуса | $\int \sin x\,dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$ | Пределы, ряды | Интегралы тригонометрических базовых функций сводятся к взаимной смене функций с поправкой знака: производная косинуса даёт минус синус, а синуса — косинус. Поэтому интеграл синуса даёт -cos x + C, а косинуса — sin x + C. |
| Метод подстановки в интегрировании | $\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u=g(x)$ | Пределы, ряды | Подстановка (или метод замены переменной) переносит интеграл к более удобной переменной. Идея: если подынтегральное выражение содержит композицию f(g(x)) и рядом стоит производная g'(x), делаем замену u=g(x), тогда dx заменяется через du. Это переводит задачу в более простую форму. |
| Интегрирование по частям | $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ | Пределы, ряды | Интегрирование по частям — это обратное правило произведения для производных. Когда подынтегральное выражение является произведением двух функций, один из множителей берут для дифференцирования, другой — для интегрирования, чтобы упростить вычисление. Правило основано на формуле (uv)'=u'v+uv'. |
| Константа интегрирования и класс решений | $\frac{d}{dx}(F(x)+C)=f(x)$ | Пределы, ряды | Константа интегрирования C фиксирует неопределенность, возникающую при переходе от производной к исходной функции. Любая первообразная отличается от другой ровно на добавление постоянной. В задаче с начальными условиями C позволяет выбрать конкретный представитель класса. |
| Формула Ньютона-Лейбница | $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x)$ | Пределы, ряды | Смысл формулы: если есть первообразная F функции f, определённая на отрезке [a,b], то определённый интеграл на этом отрезке равен разности значений первообразной на концах. |
| Функция накопления | $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ | Пределы, ряды | Функция накопления задаёт площадь отрезка от фиксированной точки a до переменного x и связывает площадь с первообразной. |
| Площадь под графиком | $S = \int_a^b f(x)\,dx$ | Пределы, ряды | Сформулировка площади (с учётом знака) для функции на отрезке [a,b] при геометрической интерпретации как интегральной суммы. |
| Свойства определенного интеграла | $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx, \quad \int_a^a f(x)dx=0, \quad \int_a^b (f\pm g)dx=\int_a^b fdx \pm \int_a^b gdx$ | Пределы, ряды | Набор базовых алгебраических свойств определенного интеграла: линейность, смена знаков пределов, нулевой интеграл на пустом отрезке. |
| Аддитивность на промежутке | $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$ | Пределы, ряды | Интеграл по большому отрезку равен сумме интегралов по частям, если c принадлежит [a,b]. Эта страница показывает не только формулу, но и условия ее применения, типичные ошибки и связь с соседними правилами определенного интеграла. |
| Среднее значение функции на отрезке | $f_{\text{ср}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ | Пределы, ряды | Формула среднего значения связывает значение функции на отрезке с ее интегралом и даёт характеристику типичного уровня функции на [a,b]. |
| Подстановка в определенном интеграле | $\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du,\quad u=g(x)$ | Пределы, ряды | Подстановка меняет переменную в определенном интеграле и меняет также пределы интегрирования на соответствующие значения новой переменной. |
| Интегрирование по частям в определенном интеграле | $\int_a^b u\,dv = \left.uv\right|_a^b - \int_a^b v\,du$ | Пределы, ряды | Интегрирование по частям переносит дифференцирование с одного фактора на другой, удобно для произведений функций. Эта страница показывает не только формулу, но и условия ее применения, типичные ошибки и связь с соседними правилами определенного интеграла. |
| Частные производные функции двух переменных | $f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\quad f_y(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}$ | Пределы, ряды | Частная производная показывает скорость изменения функции по одной переменной при фиксированной второй переменной, то есть локальный наклон сечения поверхности. |
| Градиент функции двух переменных | $\nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b))$ | Пределы, ряды | Градиент собирает частные производные в вектор и показывает направление наибольшего локального роста функции двух переменных. |
| Полный дифференциал функции двух переменных | $df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$ | Пределы, ряды | Полный дифференциал задает линейную главную часть изменения функции при малых одновременных изменениях x и y. |
| Касательная плоскость к графику z=f(x,y) | $z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$ | Пределы, ряды | Касательная плоскость к графику z=f(x,y) дает линейное приближение поверхности около точки через значения частных производных. |
| Необходимые условия экстремума для двух переменных | $\nabla f(a,b)=(0,0)$ | Пределы, ряды | Необходимые условия экстремума требуют, чтобы в гладкой внутренней точке локального максимума или минимума обе частные производные обращались в ноль. |
| Критерий Гессе для двух переменных | D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle |
Пределы, ряды | Критерий Гессе классифицирует стационарную точку функции двух переменных через вторые производные и определитель матрицы Гессе. |
| Якобиан для смены переменных | $J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\quad dA_{xy}=|J|dA_{uv}$ | Пределы, ряды | Якобиан показывает локальный коэффициент изменения площади или объема при замене переменных и входит в формулу кратных интегралов. |
| Двойной интеграл по области | $\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta A_i$ | Пределы, ряды | Двойной интеграл складывает значения функции по плоской области и дает общий вклад распределенной величины. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода. |
| Повторный интеграл | $\iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y)\,dx\,dy$ | Пределы, ряды | Повторный интеграл записывает двойной интеграл как два обычных интегрирования по подходящим пределам. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода. |
| Якобиан замены координат | $J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\qquad dA_{xy}=|J|\,dA_{uv}$ | Пределы, ряды | Якобиан измеряет, во сколько раз локально растягивается или сжимается площадь или объем при замене переменных. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода. |
| Криволинейный интеграл первого рода | $\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt$ | Пределы, ряды | Криволинейный интеграл 1 рода суммирует скалярную функцию вдоль кривой, взвешивая ее значение элементом длины дуги. Он применяется, когда величина распределена по траектории: плотность по дороге, массовая распределенность вдоль проволоки или среднее значение по контуру. |
| Криволинейный интеграл второго рода | $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt$ | Пределы, ряды | Криволинейный интеграл 2 рода учитывает направление движения вдоль траектории. Его удобно записывать как интеграл скалярного произведения векторного поля с дифференциалом перемещения, поэтому он чувствителен к ориентации и может быть положительным или отрицательным. |
| Дивергенция векторного поля | $\nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ | Пределы, ряды | Дивергенция измеряет локальную плотность источников и стоков поля: насколько в этой точке поле «вытекает» или «втягивается» из окрестности. Она служит точной связкой между локальной производной поля и глобальным потоком через границу. |
| Ротор векторного поля | \nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) |
Пределы, ряды | Ротор описывает локальную циркуляцию (вихревость) поля. Он показывает, в каком направлении и с какой интенсивностью маленький элемент среды «крутится» под действием поля в окрестности точки. |
| Теорема Грина | $\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$ | Пределы, ряды | Теорема Грина связывает ориентированный интеграл по замкнутому контуру с двойным интегралом по области в плоскости. Это ключевая связь между циркуляцией по границе и «внутренней» завихренностью через Q_x−P_y. |
| Теорема Стокса | $\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r$ | Пределы, ряды | Теорема Стокса связывает поток ротора через поверхность с интегралом 2 рода по ее ориентированному краю. Она обобщает идею Грина на трехмерные поверхности и связывает локальную завихренность с граничной циркуляцией. |
| Потенциальное поле и независимость пути | \mathbf F=\nabla\varphi \Rightarrow \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A),\;\nabla\times\mathbf F=0\;\text{в односвязной области} |
Пределы, ряды | Поле называется потенциальным, если его криволинейный интеграл 2 рода зависит только от концов пути. В такой ситуации интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, а поле представляется градиентом потенциала. |
| Формула Тейлора с остаточным членом | $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ | Пределы, ряды | Формула Тейлора описывает функцию через начальные производные в точке a и остаточный член, который контролирует точность обрезки. В задачах это даёт не только аппроксимацию, но и механизм проверки погрешности через ξ между a и x. Такой подход делает разложение вычислительно безопасным. |
| Ряд Маклорена для e^x | $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Это базовый специальный случай Тейлора в точке a=0. Ключевой плюс разложения в нуле — все производные e^x в 0 равны 1, поэтому коэффициенты просты и серия даёт очень удобную рабочую модель для вычислений, линейных аппроксимаций и решения задач на оценку роста. |
| Ряд Маклорена для sin x | $\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Маклореновский ряд синуса — стандартное чередующееся разложение с только нечётными степенями. Это делает его удобным для численного приближения на малых x и для сравнения с рядом косинуса в задачах на дифференцирование и интегрирование. |
| Дифференцирование и интегрирование степенных рядов | $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n \Rightarrow f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-a)^{n-1},\quad \int f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$ | Пределы, ряды | Внутри круга сходимости степень по степеням можно дифференцировать и интегрировать член за членом, сохраняя тот же центр и радиус сходимости. Это делает ряды удобным вычислительным контуром: сложная функция заменяется полиномиальной моделью, которая легко подвергается операциям. |