Математика / Пределы, ряды

Критерий Гессе для двух переменных

Критерий Гессе для двух переменных: формула D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Опубликовано: 3 июня 2026 г.Обновлено: 3 июня 2026 г.

Формула

D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle

Схема Минимум, максимум и седло

Знаки квадратичной формы около стационарной точки различают чашу, перевернутую чашу и седловую поверхность.

Обозначения

$f_{xx}$: вторая производная по x, число
$f_{yy}$: вторая производная по y, число
$f_{xy}$: смешанная производная, число

Когда применять

В теме математического анализа эта формула закрывает задачу: разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. Область: математического анализа. Модель задают до подстановки: Сначала f_x=f_y=0. Затем сверяют обозначения: f_{xx} — вторая производная по x (число); f_{yy} — вторая производная по y (число); f_{xy} — смешанная производная (число). Чужая строка, группа, лист или единица — повод остановить расчет.

Условия применения

Сначала f_x=f_y=0.
Значения для расчета согласованы по смыслу: f_{xx} — вторая производная по x (число); f_{yy} — вторая производная по y (число).
Единицы, период наблюдения, лист таблицы или расчетная схема выбраны до подстановки.

Ограничения

Формула относится к области математического анализа и не заменяет выбор модели.
Если данные взяты из разных источников или периодов, результат нельзя сравнивать напрямую.
Округление промежуточных строк допустимо только после проверки единиц и масштаба.

Подробное объяснение

Смысл страницы «Критерий Гессе для двух переменных» — разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. Формула D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle нужна не сама по себе, а как короткая модель из области математического анализа. Перед вычислением проверяют условие: Сначала f_x=f_y=0. Обозначения читают до арифметики: f_{xx} — вторая производная по x (число); f_{yy} — вторая производная по y (число); f_{xy} — смешанная производная (число). Похожую величину с другой базой не берут автоматически. Такой шаг особенно важен в материалах, где рядом стоят близкие формулы. Рабочая ситуация: в задаче с несколькими переменными отдельно фиксируют точку, направление и частные производные, чтобы не подставить координаты в неверном порядке. Достаточно одной подстановки и проверки. Ответ проверяют не только алгеброй: производная должна иметь правильный знак на пробном интервале, предел — согласоваться с поведением функции, а интеграл — с размером области; для этой записи отдельно сверяют f_{xx} — вторая производная по x (число). После получения результата его сверяют с ограничениями. Знак, единица и порядок величины должны соответствовать исходной модели. Если проверка не проходит, исправляют не финальную строку, а выбор данных.

Как пользоваться формулой

Сформулируйте, что именно нужно найти, и выберите запись D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle.
Выпишите исходные величины: f_{xx} — вторая производная по x (число); f_{yy} — вторая производная по y (число); f_{xy} — смешанная производная (число).
Проверьте единицы, период, диапазон таблицы или геометрическую схему.
Подставьте значения без раннего округления.
Сверьте знак, масштаб и поведение результата при изменении главного параметра.

Историческая справка

История записи «Критерий Гессе для двух переменных» связана с практикой математического анализа. Такие формулы закреплялись потому, что помогали разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В учебниках и справочниках постепенно стабилизировались обозначения: f_{xx} — вторая производная по x (число); f_{yy} — вторая производная по y (число). Современная форма D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle ценна тем, что дает короткий путь от условия к проверяемому результату. Для этой страницы историческая справка полезна еще и как защита от неверной аналогии: Сначала f_x=f_y=0. В разных источниках могут меняться буквы, порядок записи и единицы, но расчетная потребность остается прежней: сначала выбрать модель, затем проверить данные и только потом считать. Исторический блок здесь нужен не для украшения, а для понимания модели и ее границ.

Историческая линия формулы

У записи «Критерий Гессе для двух переменных» нет одного бытового автора. Контекст — развитие математического анализа. Также важны учебные курсы и рабочие методики. Формула D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle здесь дана как современная расчетная запись. Имена из источников уточняют историю метода, но не заменяют условия применения.

Пример

Пример: для функции f(x)=x^2e^x сначала определяют область, затем выбирают правило дифференцирования, интегрирования или оценки предела. Цель для «Критерий Гессе для двух переменных» — разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. Сначала делают мини-таблицу параметров и отмечают источник каждого числа. Рабочие величины: f_{xx} — вторая производная по x (число); f_{yy} — вторая производная по y (число); f_{xy} — смешанная производная (число). Дальше данные подставляют в D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle без смены модели по ходу решения. Ответ проверяют не только алгеброй: производная должна иметь правильный знак на пробном интервале, предел — согласоваться с поведением функции, а интеграл — с размером области; для этой записи отдельно сверяют f_{xx} — вторая производная по x (число). В конце меняют один ключевой параметр мысленно. Направление изменения должно совпасть со смыслом задачи.

Частая ошибка

Проверка «Критерий Гессе для двух переменных» начинается с смысла обозначений. Сверьте обозначения: f_{xx} — вторая производная по x (число); f_{yy} — вторая производная по y (число); f_{xy} — смешанная производная (число). Опасно применять правило вне области определения, сокращать выражения через нули, терять константу интегрирования, путать полный и частный дифференциал и округлять до проверки условий. Если ответ выглядит правдоподобно, проверьте его источник. Порядок простой: символ, значение, единица, источник, подстановка, округление.

Практика

Задачи с решением

Проверить исходные данные

Условие. Для «Критерий Гессе для двух переменных» заданы величины из условия. Нужно разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды.

Решение. Составляем таблицу символов, значений, единиц и источников. Убираем данные, которые относятся к другой модели.

Ответ. К расчету оставлены только согласованные исходные величины.

Выполнить подстановку

Условие. Данные согласованы, требуется применить D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle.

Решение. Подставляем значения, сохраняем промежуточную точность и отдельно проверяем единицу результата.

Ответ. Ответ принимается только после проверки знака, масштаба и смысла.

Дополнительные источники

Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
Marsden, Tromba, Vector Calculus
James Stewart. Calculus: Early Transcendentals, sections on multivariable calculus and series
Tom M. Apostol. Calculus, Vol. 2, Wiley
MIT OpenCourseWare 18.02 Multivariable Calculus, lecture notes

Связанные формулы

Математика

Необходимые условия экстремума для двух переменных

$\nabla f(a,b)=(0,0)$

Необходимые условия экстремума для двух переменных: формула \nabla f(a,b)=(0,0) помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Математика

Полный дифференциал функции двух переменных

$df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$

Полный дифференциал функции двух переменных: формула df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy помогает найти производную или дифференциал без потери условий. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

Математика

Выпуклость и вогнутость графика

$f''(x)>0\Rightarrow \text{график выпукл вверх},\qquad f''(x)<0\Rightarrow \text{график выпукл вниз}$

Знак второй производной описывает, как изгибается график: вверх или вниз. Это помогает понять форму кривой глубже, чем один только знак первой производной, потому что уже речь идет не о движении, а о характере изгиба.

Математика

Направленная производная через градиент

$D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1$

Направленная производная через градиент: формула D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется переменные меняются не строго по осям, а вдоль заданного направления: траектории движения, направления...