Аналитическая геометрия
Анализ кривых
Формулы для исследования кривых: наклон, касательная, длина дуги, кривизна и площадь.
18 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Производная параметрической кривой | $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad dx/dt\ne0$ | Прямые, плоскости | Производная параметрической кривой равна отношению скоростей изменения y и x по параметру t, если dx/dt не равно нулю в рассматриваемой точке. |
| Касательная к параметрической кривой | $y-y(t_0)=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\,(x-x(t_0)),\quad x'(t_0)\ne0$ | Прямые, плоскости | Касательная к параметрической кривой строится через точку кривой при t0 и наклон, равный отношению y'(t0) к x'(t0), с отдельной проверкой вертикального случая. |
| Длина дуги параметрической кривой | $L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$ | Прямые, плоскости | Длина дуги параметрической кривой равна интегралу от скорости точки, движущейся по кривой от параметра a до параметра b. |
| Кривизна параметрической кривой | $\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}}$ | Прямые, плоскости | Кривизна параметрической кривой измеряет скорость поворота касательной и выражается через первые и вторые производные координат. |
| Площадь в полярных координатах | $S=\frac12\int_{\alpha}^{\beta} r(\varphi)^2\,d\varphi$ | Прямые, плоскости | Площадь области в полярных координатах равна половине интеграла квадрата радиуса по углу на выбранном промежутке без повторного обхода области. |
| Касательная как линейная модель | $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$ | Пределы, ряды | Касательная в прикладной постановке нужна не только как прямая на чертеже, но и как локальная линейная замена функции. Формула позволяет быстро оценивать малое изменение величины, если известны значение функции и ее производная в одной точке. |
| Нормаль как прикладное перпендикулярное направление | $\vec n=(-f'(x_0),1),\quad y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\quad f'(x_0)\neq 0$ | Пределы, ряды | Нормаль удобно рассматривать как прикладное перпендикулярное направление к графику. Она нужна там, где важно не само касание, а ось, сила, отражение или геометрическая связь, задаваемая прямым углом к касательной. |
| Возрастание и убывание через знак производной | $f'(x)>0\Rightarrow f \text{ возрастает},\qquad f'(x)<0\Rightarrow f \text{ убывает}$ | Пределы, ряды | Знак первой производной переводит локальный наклон в глобальный вывод о монотонности. По нему удобно строить интервалы возрастания и убывания, не перебирая значения функции вручную на каждом отрезке. |
| Критические точки функции | $x_c:\ f'(x_c)=0\ \text{или}\ f'(x_c)\text{ не существует}$ | Пределы, ряды | Критические точки - это кандидаты на экстремумы, перегибы и другие заметные особенности графика. Они возникают там, где производная обнуляется или вообще не определена, поэтому именно с них удобно начинать исследование функции. |
| Необходимое условие экстремума | $f'(x_0)=0\quad \text{если }x_0\text{ - внутренняя точка экстремума и }f\text{ дифференцируема в }x_0$ | Пределы, ряды | Если функция имеет внутренний экстремум и в этой точке дифференцируема, ее производная обязана быть нулем. Это необходимое, но не достаточное условие, поэтому оно помогает отсеять лишние точки перед более точной проверкой. |
| Достаточный признак экстремума по смене знака производной | $f'(x):\ +\to-\Rightarrow \text{локальный максимум},\qquad f'(x):\ -\to+\Rightarrow \text{локальный минимум}$ | Пределы, ряды | Смена знака первой производной дает уже достаточный вывод об экстремуме. Если функция переходит от роста к убыванию, возникает максимум; если от убывания к росту, получается минимум. |
| Вторая производная как мера изменения наклона | $f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d^2f}{dx^2}$ | Пределы, ряды | Вторая производная показывает, как меняется сам наклон графика. Она связывает первую производную с кривизной поведения функции и подсказывает, ускоряется ли рост наклона или, наоборот, он выравнивается. |
| Выпуклость и вогнутость графика | $f''(x)>0\Rightarrow \text{график выпукл вверх},\qquad f''(x)<0\Rightarrow \text{график выпукл вниз}$ | Пределы, ряды | Знак второй производной описывает, как изгибается график: вверх или вниз. Это помогает понять форму кривой глубже, чем один только знак первой производной, потому что уже речь идет не о движении, а о характере изгиба. |
| Точка перегиба | $x_0\text{ - точка перегиба}\iff f''(x)\text{ меняет знак в }x_0$ | Пределы, ряды | Точка перегиба - это место, где график меняет выпуклость. Для надежного вывода нужно не только заметить ноль второй производной, но и проверить смену ее знака по обе стороны точки. |
| Схема исследования функции | $D(f)\to f'(x)\to \text{знак }f'\to f''(x)\to \text{знак }f''\to \text{вывод о графике}$ | Пределы, ряды | Полная схема исследования функции объединяет область определения, производные, знаки, экстремумы, выпуклость и перегиб. Это рабочий алгоритм, который превращает сложную кривую в последовательность понятных проверок. |
| Необходимые условия экстремума для двух переменных | $\nabla f(a,b)=(0,0)$ | Пределы, ряды | Необходимые условия экстремума требуют, чтобы в гладкой внутренней точке локального максимума или минимума обе частные производные обращались в ноль. |
| Критерий Гессе для двух переменных | D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle |
Пределы, ряды | Критерий Гессе классифицирует стационарную точку функции двух переменных через вторые производные и определитель матрицы Гессе. |
| Криволинейный интеграл первого рода | $\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt$ | Пределы, ряды | Криволинейный интеграл 1 рода суммирует скалярную функцию вдоль кривой, взвешивая ее значение элементом длины дуги. Он применяется, когда величина распределена по траектории: плотность по дороге, массовая распределенность вдоль проволоки или среднее значение по контуру. |