Математика / Пределы, ряды

Криволинейный интеграл первого рода

Криволинейный интеграл 1 рода суммирует скалярную функцию вдоль кривой, взвешивая ее значение элементом длины дуги. Он применяется, когда величина распределена по траектории: плотность по дороге, массовая распределенность вдоль проволоки или среднее значение по контуру.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt

Обозначения

$C$: ориентируемая кривая, параметризованная р( t ), геометрический контур
$f$: интегрируемая скалярная функция, любой
$s$: натуральный параметр длины дуги, м
$t$: параметр, безразмерный

Условия применения

Кривая должна быть кусочно-гладкой и иметь параметризацию на [a,b].
Функция f(x,y,z) обязана быть определена на всех точках кривой и интегрируема там, где используется параметризация.
Дуга должна быть ориентирована; при смене параметризации важно сохранить корректный знак и направление.

Ограничения

Без достаточной гладкости параметризации могут возникнуть проблемные точки и неустойчивое значение \|r'(t)\|.
Неправильные пределы по параметру дают тот же интеграл по другой части кривой или с неверным масштабом.
Нельзя использовать этот интеграл как замену интегралу 2 рода: здесь не учитывается направление вектора касательной.

Подробное объяснение

Идея здесь такая: к каждой точке кривой приписывается маленький элемент длины ds. Интегрирование идёт не по проецированию на оси, а по реальному пути в пространстве. Если взять любую гладкую параметризацию кривой r(t), то длина малой части кривой выражается как \|r'(t)\|dt, и именно это множит значение f в этой точке.

Как пользоваться формулой

Выберите параметр t и запишите координаты кривой как r(t)=(x(t),y(t),z(t)) или (x(t),y(t)).
Вычислите производную r'(t) и ее длину \|r'(t)\|.
Подставьте f(r(t)) и выразите интеграл как одну переменную t с пределами a,b.
Проверьте, что параметры покрывают именно нужный участок кривой и ориентированы корректно.

Историческая справка

Криволинейные интегралы выросли из задачи вычисления дуговых сумм в XVII–XVIII веках: сначала как геометрический способ суммирования величин по траектории, затем в классической анализе XIX–XX веков они стали центральным инструментом как для механики, так и для теории поля. Идея 1 рода возникает из естественного вопроса: если у нас есть распределение по отрезку, но интегрирование идёт по кривой, то как корректно перенести одномерный подход на произвольный путь. Современная запись через параметризацию закрепила этот переход.

Историческая линия формулы

Название и техника сформировались в общей традиции анализа и механики без привязки к одному учёному. Здесь уместно говорить о преемственности от задач длины и площадей через работы по параметрическим интегралам к современным курсам многомерного анализа, где этот тип интеграла стал базовым и применяется независимо от конкретной исторической школы.

Пример

Если f=1, формула сводится к длине дуги: \int_C 1\,ds=\ell(C). Для прямого отрезка от (0,0) до (1,1) это длина \sqrt2. Если же f меняется по траектории (например, плотность нити по длине), интеграл автоматически собирает вклад с учетом и плотности, и геометрического масштаба.

Частая ошибка

Распространенная ошибка — брать интеграл по формуле \int f(x,y)dx или \int f(x,y)dy без перехода к ds и считать, что этого достаточно для веса по дуге. Еще ошибка — забывать квадратный корень в длине производной при параметризации: если r'(t)=(x',y',z'), то ds растет как \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}, а не как просто |x'| или |y'|. Нередко также путают 1-й и 2-й роды, подставляя направленную формулу вместо длиновой. И ещё: нельзя игнорировать точки, где производная равна нулю, без разбивки параметризации и проверки непрерывности.

Практика

Задачи с решением

Интеграл единицы по отрезку

Условие. C: (x,y)=(t,0),\; 0\le t\le 2,\; f(x,y)=x+1

Решение. r'(t)=(1,0), поэтому \|r'(t)\|=1. Значит, \int_C (x+1)\,ds=\int_0^2 (t+1)\,dt = 3.

Ответ. 3

Наклонный отрезок с квадратичным весом

Условие. C: (x,y)=(t,2t),\;0\le t\le1,\;f(x,y)=x^2+y^2

Решение. r'(t)=(1,2), \|r'(t)\|=\sqrt5. Подынтегральная функция x^2+y^2=5t^2. Тогда \int_0^1 5t^2\sqrt5\,dt=\frac{5\sqrt5}{3}.

Ответ. 5\sqrt5/3

Дополнительные источники

Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
Marsden, Tromba, Vector Calculus
Stewart, Calculus: Early Transcendentals

Связанные формулы

Математика

Криволинейный интеграл второго рода

$\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt$

Криволинейный интеграл 2 рода учитывает направление движения вдоль траектории. Его удобно записывать как интеграл скалярного произведения векторного поля с дифференциалом перемещения, поэтому он чувствителен к ориентации и может быть положительным или отрицательным.

Математика

Поток векторного поля через поверхность

$\Phi=\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS=\iint_S (P n_1+Q n_2+R n_3)\,dS$

Поток показывает, какая часть поля проходит через поверхность со стороны нормали. Это ориентированная величина: положительный вклад дает выход или вход в зависимости от принятой ориентации поверхности.

Математика

Поверхностный интеграл первого рода

$\iint_S g\,dS=\iint_D g(\mathbf r(u,v))\,\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv$

Поверхностный интеграл 1 рода (скалярный) суммирует взвешенную величину по поверхности. Он применяется, когда нужно взять интеграл от плотности массы, температуры или другой скалярной характеристики по оболочке, листу или пластине.