Математика
Геометрия
Формулы для фигур, окружностей, площадей, длин и пространственных объектов.
143 формулы
Таблица формул
Показаны 1-60 из 143. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Площадь круга | $S = \pi r^2$ | Геометрия | Площадь круга равна произведению числа pi на квадрат радиуса. Квадрат радиуса показывает, что при удвоении радиуса круглая область становится в четыре раза больше. |
| Длина окружности | $C = 2\pi r$ | Геометрия | Длина окружности равна 2pi r или pi d. Она показывает периметр круглой границы, поэтому измеряется в обычных единицах длины, а не в квадратных. |
| Равномерная нагрузка на балку | $q=\frac{F}{L}$ | Нагрузки и конструкции | Равномерная нагрузка на балку: формула q=\frac{F}{L} помогает перевести нагрузку в расчетную силу, момент или схему. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Сосредоточенная нагрузка от массы | $P=m g$ | Нагрузки и конструкции | Сосредоточенная нагрузка от массы: формула P=m g помогает перевести нагрузку в расчетную силу, момент или схему. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Суммарная нагрузка на балку | $F_{\Sigma}=qL+\sum_{i=1}^{n}P_i$ | Нагрузки и конструкции | Суммарная нагрузка на балку: формула F_{\Sigma}=qL+\sum_{i=1}^{n}P_i помогает перевести нагрузку в расчетную силу, момент или схему. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Реакции опор простой балки | $R_A+R_B=\sum F,\qquad R_B=\frac{\sum M_A}{L},\qquad R_A=\sum F-R_B$ | Нагрузки и конструкции | Реакции опор простой балки: формула R_A+R_B=\sum F,\qquad R_B=\frac{\sum M_A}{L},\qquad R_A=\sum F-R_B помогает перевести нагрузку в расчетную силу, момент или схему. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Изгибающий момент простой балки | $\begin{aligned}M_{max}&=\frac{qL^2}{8}\quad \text{для равномерной нагрузки по пролету},\\ M_{max}&=\frac{PL}{4}\quad \text{для силы в середине пролета}.\end{aligned}$ | Нагрузки и конструкции | Изгибающий момент простой балки: формула \begin{aligned}M_{max}&=\frac{qL^2}{8}\quad \text{для равномерной нагрузки по пролету},\\ M_{max}&=\frac{PL}{4}\quad \text{для силы в середине пролета}.\end{aligned} помогает перевести нагрузку в расчетную силу, момент или схему. В тексте есть условия, пример, ошибки и пров... |
| Поперечная сила в балке | $V(x)=R_A-qx-\sum P_i\quad \text{для нагрузок слева от сечения}$ | Нагрузки и конструкции | Поперечная сила в балке: формула V(x)=R_A-qx-\sum P_i\quad \text{для нагрузок слева от сечения} помогает перевести нагрузку в расчетную силу, момент или схему. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Напряжение от осевой силы | $\sigma=\frac{N}{A}$ | Нагрузки и конструкции | Напряжение от осевой силы: формула \sigma=\frac{N}{A} помогает перевести нагрузку в расчетную силу, момент или схему. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Запас по нагрузке | $k=\frac{R_d}{E_d}$ | Нагрузки и конструкции | Запас по нагрузке: формула k=\frac{R_d}{E_d} помогает перевести нагрузку в расчетную силу, момент или схему. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Удельная нагрузка на площадь | $p=\frac{F}{S}$ | Нагрузки и конструкции | Удельная нагрузка на площадь: формула p=\frac{F}{S} помогает перевести нагрузку в расчетную силу, момент или схему. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Площадь прямоугольника в задачах 5 класса | $S=a\cdot b$ | Геометрия | Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины; в 5 классе формула используется с единицами площади и практическими задачами. |
| Объем прямоугольного параллелепипеда | $V=a\cdot b\cdot c$ | Геометрия | Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех измерений: длины, ширины и высоты, если все они выражены в одинаковых единицах длины. |
| Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда | $S_{\text{пов}}=2(ab+bc+ac)$ | Геометрия | Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех шести граней: по две грани каждого вида, если тело закрыто со всех сторон. |
| Сумма смежных углов | $\alpha + \beta = 180^\circ$ | Геометрия | Сумма смежных углов: смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. В вычислениях это записывают как alpha + beta = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле. |
| Вертикальные углы | $\alpha = \beta$ | Геометрия | Вертикальные углы: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. В вычислениях это записывают как alpha = beta, если обозначения выбраны как в формуле. |
| Сумма углов треугольника | $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ | Геометрия | Сумма углов треугольника: три внутренних угла любого треугольника вместе образуют 180 градусов. В вычислениях это записывают как alpha + beta + gamma = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле. |
| Внешний угол треугольника | $\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$ | Геометрия | Внешний угол треугольника: внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В вычислениях это записывают как alpha внеш = beta + gamma, если обозначения выбраны как в формуле. |
| Периметр треугольника | $P = a + b + c$ | Геометрия | Периметр треугольника: периметр треугольника равен длине всей его границы. В вычислениях это записывают как P = a + b + c, если обозначения выбраны как в формуле. |
| Периметр прямоугольника | $P = 2(a + b)$ | Геометрия | Периметр прямоугольника: периметр прямоугольника складывается из двух длин и двух ширин. В вычислениях это записывают как P = 2(a + b), если обозначения выбраны как в формуле. |
| Площадь прямоугольника | $S = ab$ | Геометрия | Площадь прямоугольника: площадь прямоугольника равна числу единичных квадратов в прямоугольной сетке. В вычислениях это записывают как S = ab, если обозначения выбраны как в формуле. |
| Углы при параллельных прямых и секущей | $a\parallel b\Rightarrow \alpha=\beta,\quad \gamma+\delta=180^\circ$ | Геометрия | При параллельных прямых и секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние углы в сумме дают 180 градусов. |
| Признак параллельности прямых по углам | $\alpha=\beta\Rightarrow a\parallel b,\quad \gamma+\delta=180^\circ\Rightarrow a\parallel b$ | Геометрия | Если при пересечении двух прямых секущей равны накрест лежащие или соответственные углы, прямые параллельны; то же верно при сумме односторонних углов 180 градусов. |
| Неравенство треугольника | $a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a$ | Геометрия | В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Это условие проверяет, можно ли построить треугольник по трем отрезкам. |
| Сумма острых углов прямоугольного треугольника | $\alpha+\beta=90^\circ$ | Геометрия | В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90 градусов, потому что третий угол уже равен 90 градусам. Она уточняет, какие величины входят в запись \alpha+\beta=90^\circ и какой результат получают после подстановки. |
| Периметр равнобедренного треугольника | $P=2a+b$ | Геометрия | Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне плюс основание. Формула использует равенство двух боковых сторон. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Угол между биссектрисами смежных углов | $\frac{\alpha}{2}+\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ$ | Геометрия | Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны. Их угол равен 90 градусам, потому что смежные углы в сумме дают 180 градусов. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Первый признак равенства треугольников | $AB=A_1B_1,\ AC=A_1C_1,\ \angle A=\angle A_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ | Геометрия | Первый признак равенства треугольников утверждает: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны. |
| Второй признак равенства треугольников | $AB=A_1B_1,\ \angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ | Геометрия | Второй признак равенства треугольников использует сторону и два прилежащих к ней угла. Такой набор однозначно задает треугольник. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Третий признак равенства треугольников | $AB=A_1B_1,\ BC=B_1C_1,\ AC=A_1C_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$ | Геометрия | Третий признак равенства треугольников утверждает: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, треугольники равны. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Биссектриса угла и половина градусной меры | $\beta=\frac{\alpha}{2}$ | Геометрия | Биссектриса делит угол на два равных угла. Если весь угол равен alpha, каждый из получившихся углов равен alpha/2. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин. |
| Угол при вершине равнобедренного треугольника | $\beta=180^\circ-2\alpha$ | Геометрия | Если известен угол при основании равнобедренного треугольника, угол при вершине находят как 180 градусов минус удвоенный угол при основании. Она помогает не подменять гео. |
| Угол равностороннего треугольника | $\alpha=60^\circ$ | Геометрия | В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому все внутренние углы равны и каждый из них составляет 60 градусов. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин. |
| Периметр равностороннего треугольника | $P=3a$ | Геометрия | Периметр равностороннего треугольника равен утроенной стороне, потому что все три его стороны имеют одну и ту же длину. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин. |
| Третий угол треугольника | $\gamma=180^\circ-\alpha-\beta$ | Геометрия | Если известны два угла треугольника, третий находят вычитанием их суммы из 180 градусов. Формула следует из теоремы о сумме углов треугольника. Она помогает не подменять. |
| Угол при основании равнобедренного треугольника | $\alpha=\frac{180^\circ-\beta}{2}$ | Геометрия | В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если известен угол при вершине, каждый угол при основании равен половине разности 180° и этого угла. Она помогает. |
| Внутренние односторонние углы при параллельных прямых | $\alpha+\beta=180^\circ$ | Геометрия | Если две параллельные прямые пересечены секущей, внутренние односторонние углы в сумме дают 180 градусов. Они дополняют друг друга до развернутого угла. Она помогает не п. |
| Координата середины отрезка на прямой | $x_{\text{серед}}=\frac{x_1+x_2}{2}$ | Алгебра | Координата середины отрезка на координатной прямой равна среднему арифметическому координат его концов. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять. |
| Периметр многоугольника через стороны | $P=a_1+a_2+\dots+a_n$ | Геометрия | Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон, взятых в одном порядке обхода фигуры. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять. |
| Расстояние между двумя точками на плоскости | $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ | Геометрия | Расстояние между двумя точками на координатной плоскости находится по теореме Пифагора через разности их координат и всегда является неотрицательной длиной. |
| Координаты середины отрезка | $M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ | Геометрия | Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов на координатной плоскости. |
| Теорема Пифагора | $c^2 = a^2 + b^2$ | Геометрия | Теорема Пифагора позволяет найти сторону прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов. |
| Площадь треугольника через основание и высоту | $S = \frac{1}{2}ah$ | Геометрия | Площадь треугольника через основание и высоту равна половине произведения выбранного основания на соответствующую высоту. |
| Площадь параллелограмма | $S = ah$ | Геометрия | Площадь параллелограмма находят как произведение стороны, выбранной основанием, на перпендикулярную высоту к этой стороне. |
| Площадь трапеции | $S = \frac{a + b}{2}h$ | Геометрия | Площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту, проведенную между параллельными сторонами. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Площадь ромба через диагонали | $S = \frac{d_1d_2}{2}$ | Геометрия | Площадь ромба можно найти по диагоналям: половина произведения диагоналей дает площадь всей фигуры. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Средняя линия треугольника | $m = \frac{a}{2}$ | Геометрия | Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине ее длины. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле. |
| Расстояние между точками в декартовых координатах | $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ | Прямые, плоскости | Формула находит длину отрезка между двумя точками по их координатам и является координатной записью теоремы Пифагора. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Середина отрезка по координатам | $M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ | Прямые, плоскости | Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Деление отрезка в заданном отношении | $P\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n},\frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right),\quad AP:PB=m:n$ | Прямые, плоскости | Формула дает координаты точки, которая делит отрезок между A и B в отношении m:n, с большим весом у противоположного конца. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Вектор между двумя точками | $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A)$ | Прямые, плоскости | Координаты вектора из A в B равны разности координат конца и начала. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Длина вектора по координатам | $\|a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ | Прямые, плоскости | Длина вектора на плоскости вычисляется как корень из суммы квадратов его координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Скалярное произведение в координатах | $a\cdot b=a_x b_x+a_y b_y$ | Прямые, плоскости | Скалярное произведение в координатах равно сумме произведений соответствующих координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Угол между векторами в координатах | $\cos\varphi=\frac{a_xb_x+a_yb_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$ | Прямые, плоскости | Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Уравнение прямой через две точки | $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$ | Прямые, плоскости | Уравнение прямой через две точки фиксирует равенство отношений координатных приращений для любой точки этой прямой. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Угловой коэффициент прямой по двум точкам | $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ | Прямые, плоскости | Угловой коэффициент показывает, насколько меняется y при увеличении x на одну единицу. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Расстояние от точки до прямой на плоскости | $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad Ax+By+C=0$ | Прямые, плоскости | Расстояние от точки до прямой равно модулю подстановки точки в нормированное общее уравнение прямой. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла. |
| Уравнение окружности в канонической форме | $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ | Прямые, плоскости | Уравнение окружности в канонической форме: формула (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Уравнение окружности по центру и радиусу | $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ | Прямые, плоскости | Уравнение окружности по центру и радиусу: формула (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Уравнение касательной к окружности в заданной точке | $(x_1-a)(x-a_0)+(y_1-b)(y-b_0)=R^2$ | Прямые, плоскости | Уравнение касательной к окружности в заданной точке: формула (x_1-a)(x-a_0)+(y_1-b)(y-b_0)=R^2 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |