Все формулы РФ

Математика / Геометрия

Расстояние между двумя точками на плоскости

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости находится по теореме Пифагора через разности их координат и всегда является неотрицательной длиной.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 9 классФормулы по математике для ОГЭГеометрияКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
Координатный треугольник Отрезок как гипотенуза

Точки A и B соединены отрезком, а горизонтальная и вертикальная разности координат образуют прямоугольный треугольник.

Формула расстояния - это теорема Пифагора на координатной плоскости.

Обозначения

$A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)$
две точки на координатной плоскости
$AB$
длина отрезка между точками, единицы длины
$x_2-x_1, y_2-y_1$
горизонтальная и вертикальная разности координат

Условия применения

  • Точки заданы в прямоугольной декартовой системе координат.
  • Координаты точек известны и относятся к одной и той же системе осей.
  • Расстояние считается как неотрицательная длина отрезка.

Ограничения

  • Формула относится к плоскости; для пространства нужна еще разность z-координат.
  • Нельзя складывать координаты вместо разностей: длина зависит от смещения между точками.
  • Если оси имеют разный масштаб на рисунке, визуальная длина может обмануть, но координатная формула остается расчетной.

Подробное объяснение

Формула расстояния является координатной версией теоремы Пифагора. Если из двух точек построить прямоугольный треугольник с горизонтальным и вертикальным катетами, длины катетов будут равны модулям разностей координат.

Квадраты в формуле делают знак разностей неважным. Не имеет значения, идти от A к B или от B к A: расстояние получится одинаковым. Это соответствует геометрическому смыслу длины отрезка.

Формула полезна не только для нахождения длины. С ее помощью проверяют, равны ли стороны треугольника, является ли треугольник прямоугольным, лежит ли точка на окружности с заданным центром и радиусом.

В задачах ОГЭ координаты часто выбирают так, чтобы под корнем получался полный квадрат. Но даже если ответ остается с корнем, формула дает точное значение, которое не нужно округлять без требования.

Перед вычислением важно аккуратно подписать точки. Ошибка в одной координате меняет оба катета и может дать правдоподобный, но неверный ответ.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите координаты двух точек A и B.
  2. Найдите разность x-координат и разность y-координат.
  3. Возведите обе разности в квадрат.
  4. Сложите квадраты и извлеките квадратный корень.
  5. Проверьте, что длина неотрицательна и соответствует рисунку.

Историческая справка

Формула расстояния объединяет две большие линии школьной математики: теорему Пифагора и координатный метод. Теорема Пифагора известна с древности, а координатная геометрия получила развитие в XVII веке, когда алгебраические уравнения начали связывать с геометрическими фигурами на плоскости. Благодаря этому длину отрезка между точками можно считать по координатам, не выполняя отдельного построения. Такой подход стал основой аналитической геометрии: фигуры можно изучать через числа, уравнения и вычисления. В 9 классе эта формула становится одним из главных инструментов координатной геометрии и задач ОГЭ. В экзаменационных задачах это позволяет переводить рисунок в точный расчет.

Пример

Найдите расстояние между A(1; 2) и B(5; 5). Разности координат: x2 - x1 = 5 - 1 = 4, y2 - y1 = 5 - 2 = 3. Тогда AB = sqrt(4^2 + 3^2) = sqrt(16 + 9) = sqrt(25) = 5. Проверка геометрически: если провести горизонтальный и вертикальный катеты, получится прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3, а гипотенуза равна 5 по теореме Пифагора. Значит расстояние между точками равно 5 единицам. Если поменять точки местами, разности станут -4 и -3, но квадраты останутся 16 и 9, поэтому длина не изменится. Это свойство делает формулу симметричной относительно A и B.

Частая ошибка

Частая ошибка - не возводить разности в квадрат и считать sqrt(4+3). Вторая ошибка - забывать скобки при отрицательных разностях: (-4)^2 = 16, а не -16. Третья ошибка - путать координаты x и y разных точек. Еще одна ошибка - считать расстояние отрицательным, если x2 - x1 или y2 - y1 отрицательны; после квадратов длина всегда неотрицательна.

Практика

Задачи с решением

Длина отрезка

Условие. Найдите расстояние между A(0; 0) и B(6; 8).

Решение. AB = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36+64)=10.

Ответ. 10

Отрицательные координаты

Условие. Найдите расстояние между A(-2; 1) и B(1; 5).

Решение. Разности: 3 и 4. AB = sqrt(3^2+4^2)=5.

Ответ. 5

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Distance and Midpoint Formulas
  • Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: координаты и геометрия

Связанные формулы

Математика

Теорема Пифагора

$c^2 = a^2 + b^2$

Теорема Пифагора связывает катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника.

Математика

Координаты середины отрезка

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов на координатной плоскости.