Математика

Тригонометрия

Формулы для синуса, косинуса, тангенса и преобразования выражений.

16 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Основное тригонометрическое тождество	$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$	Тригонометрия	Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла.
Радианная мера угла через длину дуги	$\alpha=\frac{l}{R}$	Тригонометрия	Радианная мера угла равна отношению длины соответствующей дуги окружности к радиусу этой окружности и задает естественный числовой аргумент тригонометрических функций.
Перевод градусов в радианы	$\alpha_{rad}=\alpha_{deg}\cdot\frac{\pi}{180}$	Тригонометрия	Чтобы перевести градусы в радианы, градусную меру умножают на π и делят на 180, потому что 180° соответствуют π радианам.
Перевод радианов в градусы	$\alpha_{deg}=\alpha_{rad}\cdot\frac{180}{\pi}$	Тригонометрия	Чтобы перевести радианы в градусы, радианную меру умножают на 180 и делят на π, используя соответствие π рад = 180° для одной полуокружности.
Синус и косинус на единичной окружности	`P(t)=(\cos t;\sin t)`	Тригонометрия	На единичной окружности косинус угла равен абсциссе точки, а синус равен ее ординате после соответствующего поворота от оси Ox.
Тангенс через синус и косинус	$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$	Тригонометрия	Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу при условии, что косинус этого угла не равен нулю, поэтому область определения нужно проверять.
Тождества для тангенса и котангенса	$1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\quad 1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}$	Тригонометрия	Тождества для тангенса и котангенса выводятся из основного тригонометрического тождества делением на cos²x или sin²x с учетом ограничений.
Формула синуса суммы	$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$	Тригонометрия	Синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса одного угла на косинус другого и является базовой формулой сложения.
Формула косинуса суммы	$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$	Тригонометрия	Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов минус произведение синусов этих углов, поэтому знак в середине критически важен.
Формула тангенса суммы	$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$	Тригонометрия	Тангенс суммы равен дроби, где в числителе сумма тангенсов, а в знаменателе единица минус произведение тангенсов двух углов.
Формулы двойного угла	$\sin 2x=2\sin x\cos x,\quad \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$	Тригонометрия	Формулы двойного угла выражают синус и косинус 2x через синус и косинус угла x и следуют из формул сложения при x + x в тригонометрии.
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике	$\tan \alpha = \frac{a}{b}$	Тригонометрия	Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Производная sin x	$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$	Пределы, ряды	Производная синуса равна косинусу, если аргумент измеряется в радианах. Радианная мера здесь не техническая мелочь, а условие, без которого формула меняет коэффициент.
Производная cos x	$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$	Пределы, ряды	Производная косинуса равна минус синусу и отражает фазовый сдвиг тригонометрической пары. Знак минус отражает то, что около нуля косинус начинает убывать при движении вправо от максимума.
Ряд Маклорена для sin x	$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb R$	Пределы, ряды	Маклореновский ряд синуса — стандартное чередующееся разложение с только нечётными степенями. Это делает его удобным для численного приближения на малых x и для сравнения с рядом косинуса в задачах на дифференцирование и интегрирование.
Ряд Маклорена для cos x	$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb R$	Пределы, ряды	Косинус разлагается в чётные степени с чередованием знаков, что делает его удобным для оценки и для вычислений вблизи нуля. Это разложение естественно дополняет ряд синуса и часто используется вместе с ним в задачах колебаний и в методах линейного приближения.