Все формулы РФ

Математика / Тригонометрия

Формула косинуса суммы

Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов минус произведение синусов этих углов, поэтому знак в середине критически важен.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по математике за 10 классФормулы по математике для ЕГЭ профильТригонометрияФункции и графикиКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
Повороты на плоскости Косинус как x-координата после суммы углов

Схема показывает два последовательных поворота и горизонтальную проекцию итоговой точки.

Минус в формуле косинуса суммы нельзя терять.

Обозначения

$\alpha, \beta$
углы или аргументы функций, рад или °
$\cos$
функция косинуса
$\sin$
функция синуса

Условия применения

  • Углы α и β записаны в одной мере.
  • Формула верна для любых действительных α и β.
  • При численном вычислении нужно использовать правильный режим калькулятора.

Ограничения

  • Нельзя заменять cos(α+β) на cos α + cos β.
  • Знак минус между произведениями является обязательным.
  • При вычислении точных значений нужно учитывать четверть итогового угла.

Подробное объяснение

Формула косинуса суммы описывает x-координату точки после двух последовательных поворотов. Если точку на единичной окружности повернуть на α, а затем еще на β, итоговая горизонтальная координата выражается через cosαcosβ - sinαsinβ.

Минус в формуле связан с геометрией поворота. При сложении углов вертикальная составляющая одного поворота влияет на горизонтальную координату итоговой точки с противоположным знаком. Поэтому знак нельзя выбирать по памяти или симметрии с формулой синуса.

Формула позволяет вычислять точные значения углов, например 75°, 105°, 15°, если представить их как суммы или разности стандартных углов. Она также является основой для формулы косинуса разности и формул двойного угла.

Если заменить β на -β, учитывая что cos(-β)=cosβ, а sin(-β)=-sinβ, получится cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. Так видно, почему в формуле разности знак меняется на плюс.

В задачах на доказательство тождеств формула косинуса суммы часто помогает раскрыть сложный аргумент и затем сгруппировать члены. Но перед раскрытием стоит проверить, действительно ли это делает выражение проще.

Как пользоваться формулой

  1. Представьте нужный угол как сумму двух стандартных углов.
  2. Запишите формулу косинуса суммы с минусом между произведениями.
  3. Подставьте значения косинусов и синусов.
  4. Упростите выражение с корнями и дробями.
  5. Проверьте знак ответа по четверти итогового угла.

Историческая справка

Формула косинуса суммы относится к старому ядру тригонометрии, возникшему из задач астрономии, геометрии окружности и вычисления таблиц. В античной форме многие связи записывались через хорды, а современная запись через синус и косинус появилась позже с развитием символической алгебры. Координатный метод сделал формулу особенно понятной: косинус стал горизонтальной координатой точки после поворота. В школьном курсе эта формула важна как источник множества последующих преобразований, включая формулы разности и двойного угла. Она также показывает, почему тригонометрия тесно связана с поворотами и координатами. Поэтому формула полезна не только для вычисления углов, но и для понимания геометрии плоскости.

Пример

Найдем cos 75° как cos(45° + 30°). По формуле cos(α+β)=cosαcosβ - sinαsinβ. Получаем cos75° = cos45°cos30° - sin45°sin30° = (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) = (√6 - √2)/4. Значение положительное, потому что 75° находится в первой четверти. Численно это примерно 0,259, что согласуется с тем, что косинус 75° мал, но еще положителен. Если поставить плюс вместо минуса, получится значение косинуса 15°, а не 75°. Поэтому полезно после вычисления сверять не только знак, но и примерную величину ответа по окружности.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - поставить плюс вместо минуса и получить формулу косинуса разности или другой угол. Вторая ошибка - раскрывать cos(α+β) как сумму косинусов. Третья ошибка - забывать, что sin45° и cos45° равны, но для 30° и 60° значения различаются. Еще одна ошибка - не проверять четверть итогового угла: косинус во второй и третьей четвертях должен быть отрицательным.

Практика

Задачи с решением

Косинус 75 градусов

Условие. Найдите точное значение cos 75°.

Решение. 75° = 45° + 30°. cos75° = cos45°cos30° - sin45°sin30° = √6/4 - √2/4 = (√6-√2)/4.

Ответ. (√6-√2)/4

Проверка нулевого угла

Условие. Упростите cos(x + 0).

Решение. cos(x+0)=cos x cos0 - sin x sin0 = cos x*1 - sin x*0 = cos x.

Ответ. cos x

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Sum and Difference Identities
  • OpenStax Precalculus 2e, раздел Sum and Difference Identities

Связанные формулы

Математика

Формула синуса суммы

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

Синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса одного угла на косинус другого и является базовой формулой сложения.

Математика

Формула тангенса суммы

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

Тангенс суммы равен дроби, где в числителе сумма тангенсов, а в знаменателе единица минус произведение тангенсов двух углов.

Математика

Формулы двойного угла

$\sin 2x=2\sin x\cos x,\quad \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$

Формулы двойного угла выражают синус и косинус 2x через синус и косинус угла x и следуют из формул сложения при x + x в тригонометрии.