Все формулы РФ

Математика / Тригонометрия

Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество sin^2 x+cos^2 x=1 выражает связь координат точки единичной окружности и верно для любого угла x.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭТригонометрияЕсть историческая справка

Формула

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Обозначения

$x$
угол или аргумент, радианы или градусы

Подробное объяснение

Тождество sin^2 x+cos^2 x=1 следует из геометрии единичной окружности. Точка, полученная поворотом на угол x, имеет координаты (cos x, sin x). Расстояние от этой точки до начала координат равно радиусу окружности, то есть 1.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами cos x и sin x получаем cos^2 x+sin^2 x=1^2. Поэтому тождество верно для всех углов, а не только для острых углов прямоугольного треугольника.

Формула позволяет заменять квадрат одной тригонометрической функции через другую: sin^2 x=1-cos^2 x и cos^2 x=1-sin^2 x. Это удобно при упрощении выражений, где встречаются разные функции одного аргумента.

Когда нужно найти сам sin x или cos x, тождество дает два возможных знака. Выбор зависит от четверти, в которой находится угол, или от дополнительного условия задачи. Без этого можно получить неполный или неверный ответ.

Основное тождество является базой для других тригонометрических формул. Деление на cos^2 x дает 1+tg^2 x=1/cos^2 x, а деление на sin^2 x — родственные тождества с котангенсом, если знаменатель не равен нулю.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что синус и косинус относятся к одному и тому же углу.
  2. Замените sin² x на 1 - cos² x или cos² x на 1 - sin² x.
  3. Если находите сам sin x или cos x, учтите знак в четверти.
  4. Используйте тождество для упрощения выражения или решения уравнения.

Историческая справка

Истоки тождества связаны с геометрией прямоугольного треугольника и окружности. Еще античные математики изучали хорды окружности, а позднее индийская и исламская традиции развивали таблицы синусов для астрономии и измерений. Связь между сторонами прямоугольного треугольника опиралась на теорему Пифагора.

Современные функции sin и cos как координаты точки на единичной окружности стали стандартными в более поздней аналитической традиции. Такой взгляд расширил тригонометрию с острых углов до любых действительных аргументов и сделал тождество универсальным.

В школьном курсе тождество обычно выводят либо из прямоугольного треугольника, либо из единичной окружности. Оба подхода показывают одну идею: сумма квадратов координат точки на окружности радиуса 1 равна квадрату радиуса.

Историческая линия формулы

У тождества нет единственного автора. Его содержание опирается на теорему Пифагора и развитие тригонометрии от геометрии хорд к функциям синуса и косинуса. Современная запись sin^2 x+cos^2 x=1 принадлежит школьной и аналитической нотации Нового времени.

Пример

Задача. Известно, что cos x=3/5 и угол x расположен в IV четверти. Найти sin x. Дано: sin^2 x+cos^2 x=1, cos x=3/5. Подставляем: sin^2 x+(3/5)^2=1, значит sin^2 x+9/25=1. Тогда sin^2 x=16/25, откуда sin x=±4/5. В IV четверти синус отрицателен. Ответ: sin x=-4/5. Проверка: (-4/5)^2+(3/5)^2=16/25+9/25=25/25=1. Знак выбран по четверти, а не из самого квадрата. Дополнительная проверка по единичной окружности: в IV четверти координата y отрицательна, а синус как раз является y-координатой точки. Поэтому положительный вариант 4/5 не подходит условию.

Частая ошибка

Главная ошибка — после извлечения корня забывать знак и писать только положительное значение. Тождество дает квадрат синуса или косинуса, а знак определяется положением угла. Вторая ошибка — записывать sin x+cos x=1 вместо суммы квадратов. Еще часто смешивают градусы и радианы в соседних вычислениях, хотя само тождество верно при любой мере угла. В уравнениях нельзя делить на sin x или cos x без проверки, что они не равны нулю.

Дополнительные источники

  • Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс, раздел «Тригонометрические формулы»
  • Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7-9 классы, теорема Пифагора и окружность
  • ФИПИ: кодификатор ЕГЭ по математике, тригонометрия
  • ФИПИ: кодификатор ОГЭ по математике, тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Связанные формулы

Математика

Тангенс через синус и косинус

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу при условии, что косинус этого угла не равен нулю, поэтому область определения нужно проверять.

Математика

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике

$\tan \alpha = \frac{a}{b}$

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.

Математика

Тождества для тангенса и котангенса

$1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\quad 1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}$

Тождества для тангенса и котангенса выводятся из основного тригонометрического тождества делением на cos²x или sin²x с учетом ограничений.

Математика

Перевод градусов в радианы

$\alpha_{rad}=\alpha_{deg}\cdot\frac{\pi}{180}$

Чтобы перевести градусы в радианы, градусную меру умножают на π и делят на 180, потому что 180° соответствуют π радианам.