Математика / Тригонометрия

Синус и косинус на единичной окружности

На единичной окружности косинус угла равен абсциссе точки, а синус равен ее ординате после соответствующего поворота от оси Ox.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Школьная программа ЕГЭ Формулы по математике за 10 класс Формулы по математике для ЕГЭ профиль Тригонометрия Функции и графики Калькулятор Есть историческая справка

Формула

P(t)=(\cos t;\sin t)

Единичная окружность Координаты точки как cos и sin

На окружности радиуса 1 показана точка P(t), ее проекции на оси, x = cos t и y = sin t.

Косинус - горизонтальная координата, синус - вертикальная.

Обозначения

$t$: угол поворота, обычно в радианах, рад
$\cos t$: абсцисса точки на единичной окружности
$\sin t$: ордината точки на единичной окружности
$P(t)$: точка единичной окружности после поворота на угол t

Условия применения

Окружность имеет радиус 1 и центр в начале координат.
Положительное направление угла обычно считается против часовой стрелки.
Угол t может быть любым действительным числом, если он понимается как ориентированный поворот.

Ограничения

Запись не означает, что синус и косинус являются длинами для всех углов; это координаты точки.
Для вычислений на калькуляторе нужно учитывать режим радиан или градусов.
При переходе к прямоугольному треугольнику обычно рассматривают острые углы, а единичная окружность шире.

Подробное объяснение

Единичная окружность имеет уравнение x^2 + y^2 = 1. Если точка движется по этой окружности, ее координаты можно описать через угол поворота от положительного направления оси Ox. Абсцисса этой точки называется косинусом угла, а ордината - синусом.

Такое определение расширяет школьную тригонометрию из прямоугольного треугольника на любые углы. Угол может быть больше 360°, отрицательным или равным нескольким полным оборотам. Точка на окружности повторяется через 2π, поэтому синус и косинус имеют период 2π.

Единичная окружность объясняет основное тождество sin^2 t + cos^2 t = 1. Координаты точки лежат на окружности радиуса 1, поэтому по уравнению окружности сумма квадратов координат равна 1.

Знаки функций тоже становятся наглядными. В первой четверти обе координаты положительны, во второй косинус отрицателен, а синус положителен, в третьей обе отрицательны, в четвертой синус отрицателен, а косинус положителен.

Это определение является основой для графиков. Когда угол t растет, точка движется по окружности, а ее y-координата дает график синуса, x-координата - график косинуса.

Как пользоваться формулой

Представьте угол как поворот на единичной окружности.
Определите четверть, в которой находится конечная точка.
Запишите косинус как x-координату, синус как y-координату.
Используйте табличные значения для стандартных углов.
Проверьте координаты через тождество sin^2 t + cos^2 t = 1.

Историческая справка

Тригонометрия начиналась с геометрии хорд, астрономических таблиц и задач измерения недоступных расстояний. Позже синус, косинус и другие функции стали рассматривать не только как отношения сторон треугольника, но и как координаты точки на окружности. Координатный подход оказался особенно удобным после развития аналитической геометрии и математического анализа: углы можно было связывать с функциями, графиками и уравнениями. В школьном курсе 10 класса единичная окружность является ключевым переходом от геометрической тригонометрии к функциональной. Она позволяет одинаково работать с острыми, тупыми, отрицательными и большими углами. Благодаря этому синус и косинус становятся полноценными функциями на числовой прямой.

Пример

Рассмотрим угол t = π/3. На единичной окружности ему соответствует точка P(π/3) = (cos π/3; sin π/3). По табличным значениям cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2, значит точка имеет координаты (1/2; √3/2). Проверка через окружность: (1/2)^2 + (√3/2)^2 = 1/4 + 3/4 = 1, значит точка действительно лежит на единичной окружности. Если взять угол 4π/3, точка окажется в третьей четверти, и обе координаты будут отрицательными. Поэтому единичная окружность сразу показывает знаки функций. Это удобнее, чем пытаться представить неострый угол внутри прямоугольного треугольника.

Частая ошибка

Частая ошибка - менять местами синус и косинус: косинус отвечает за x-координату, синус за y-координату. Вторая ошибка - считать, что синус и косинус не определены для углов больше 90°, потому что в прямоугольном треугольнике таких острых углов нет. Единичная окружность определяет функции для любого действительного угла. Третья ошибка - забывать знаки по четвертям. Еще одна ошибка - использовать градусный режим калькулятора при радианной записи угла.

Практика

Задачи с решением

Координаты стандартного угла

Условие. Найдите координаты точки единичной окружности для угла π/2.

Решение. cos π/2 = 0, sin π/2 = 1. Значит P(π/2) = (0; 1).

Ответ. (0; 1)

Знаки функций

Условие. В какой четверти синус положителен, а косинус отрицателен?

Решение. Синус - y-координата, косинус - x-координата. y > 0 и x < 0 во второй четверти.

Ответ. во второй четверти

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Unit Circle: Sine and Cosine Functions
OpenStax Precalculus 2e, раздел The Unit Circle

Связанные формулы

Математика

Радианная мера угла через длину дуги

$\alpha=\frac{l}{R}$

Радианная мера угла равна отношению длины соответствующей дуги окружности к радиусу этой окружности и задает естественный числовой аргумент тригонометрических функций.

Математика

Основное тригонометрическое тождество

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла.

Математика

Тангенс через синус и косинус

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу при условии, что косинус этого угла не равен нулю, поэтому область определения нужно проверять.