Линейная алгебра
Скалярное произведение
Скалярные произведения, углы, нормы, ортогональность и координатные компоненты векторов.
6 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Ортогональность векторов через скалярное произведение | $u\cdot v=0$ | Матрицы, определители | Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. В евклидовом пространстве это означает взаимную перпендикулярность направлений и дает алгебраический способ проверять прямые углы. |
| Норма вектора через скалярное произведение | $\|v\|=\sqrt{v\cdot v}$ | Матрицы, определители | Длина вектора в евклидовом пространстве равна квадратному корню из его скалярного произведения с самим собой. Формула связывает геометрическую длину с алгебраической операцией над координатами. |
| Ортонормированный базис | $e_i\cdot e_j=\delta_{ij}$ | Матрицы, определители | Базис называется ортонормированным, если его векторы имеют длину 1 и попарно ортогональны. Краткая запись e_i*e_j=delta_ij объединяет оба условия в одной формуле. |
| Координаты в ортонормированном базисе | $x=\sum_{i=1}^{n}(x\cdot e_i)e_i$ | Матрицы, определители | В ортонормированном базисе коэффициент при базисном векторе равен скалярному произведению x с этим вектором. Поэтому разложение вектора строится без решения системы уравнений. |
| Ортогональная проекция на прямую | $\operatorname{proj}_{u}v=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u$ | Матрицы, определители | Ортогональная проекция вектора v на прямую, заданную ненулевым вектором u, равна такому кратному u, что остаток v-proj_u v перпендикулярен прямой. |
| Ортогональная матрица | $Q^{T}Q=I,\quad Q^{-1}=Q^{T}$ | Матрицы, определители | Квадратная матрица Q ортогональна, если ее столбцы образуют ортонормированный базис. Тогда обратная матрица равна транспонированной, а преобразование сохраняет длины и углы. |