Математика / Матрицы, определители

Координаты в ортонормированном базисе

В ортонормированном базисе коэффициент при базисном векторе равен скалярному произведению x с этим вектором. Поэтому разложение вектора строится без решения системы уравнений.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

x=\sum_{i=1}^{n}(x\cdot e_i)e_i

coordinates-orthonormal-basis Скалярные произведения как координаты

Схема показывает вектор x, две ортонормированные оси и перпендикулярные опускания на каждую ось.

В ортонормированном базисе координата равна проекции на соответствующую ось.

Обозначения

$x$: разлагаемый вектор, вектор
$e_i$: i-й вектор ортонормированного базиса, единичный вектор
$x\cdot e_i$: координата x вдоль e_i, число
$n$: размерность пространства, число

Условия применения

Векторы e_1,...,e_n должны образовывать ортонормированный базис всего пространства.
Вектор x должен принадлежать этому пространству.
Скалярное произведение должно совпадать с тем, относительно которого базис ортонормирован.

Ограничения

Если набор ортонормирован, но не полный, формула дает только проекцию на его оболочку, а не весь x.
Если базис не ортонормирован, коэффициенты нельзя находить простыми скалярными произведениями с базисными векторами.
При округленных базисных векторах разложение может давать малую численную погрешность.

Подробное объяснение

В обычном базисе разложение x=c1e1+...+cnen требует найти неизвестные коэффициенты c_i. Если базис ортонормирован, задача резко упрощается. Умножим обе части на e_j. Слева получаем x*e_j. Справа все слагаемые c_i(e_i*e_j) исчезают при i не равно j, а при i=j остается c_j. Поэтому c_j=x*e_j.

Эта идея объясняет, почему ортонормированные базисы любят в вычислениях. Каждый коэффициент можно получить независимо от остальных, без обратной матрицы. Геометрически x*e_i - это signed length компоненты x вдоль оси e_i. Если все оси единичны и взаимно перпендикулярны, эти компоненты складываются обратно в исходный вектор.

Если набор e_i не покрывает все пространство, та же сумма дает не x, а ортогональную проекцию на подпространство, натянутое на e_i. Это делает формулу мостом к следующему блоку: проекция на подпространство с ортонормированным базисом записывается тем же образом, только сумма идет по векторам подпространства, а не по полному базису пространства.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что e_i образуют ортонормированный базис.
Для каждого i вычислите скалярное произведение x*e_i.
Запишите найденное число как координату при e_i.
Умножьте каждый e_i на свою координату.
Сложите все слагаемые и при необходимости проверьте восстановление x.

Историческая справка

Координаты в ортонормированном базисе соединяют аналитическую геометрию с более поздним языком линейных пространств. Декартова координатная идея дала способ описывать точки числами, но в линейной алгебре базис уже не обязан быть стандартным набором осей. Развитие векторного языка в XIX веке, включая работы Грассмана о независимых направлениях и подпространствах, сделало возможным общий взгляд: координаты зависят от выбранного базиса. Ортонормированный базис является особенно удобным случаем, потому что геометрия прямых углов и единичных длин сохраняет простую формулу извлечения координат через скалярные произведения. Та же идея затем стала привычной в разложениях по ортогональным функциям и в численной линейной алгебре.

Историческая линия формулы

Формула координат через x*e_i является современной формой общего принципа разложения по ортонормированной системе. Она связана с развитием координатной геометрии, векторного исчисления и теории базисов, а не с одной персональной атрибуцией.

Герман Грассман 1809-1877

Пример

Пусть в R^2 задан ортонормированный базис e1=(1/sqrt(2),1/sqrt(2)), e2=(1/sqrt(2),-1/sqrt(2)), а x=(3,1). Находим координаты: x*e1=(3+1)/sqrt(2)=2sqrt(2), x*e2=(3-1)/sqrt(2)=sqrt(2). Тогда x=2sqrt(2)e1+sqrt(2)e2. Проверим: 2sqrt(2)e1=(2,2), sqrt(2)e2=(1,-1), сумма равна (3,1). В произвольном повернутом базисе обычно пришлось бы решать систему, но ортонормированность сразу извлекает координаты скалярными произведениями. Если перепутать знак второго базисного вектора, восстановление даст другой результат, поэтому проверка обратной сборкой полезна.

Частая ошибка

Частая ошибка - применять формулу к любому базису. Если базис не ортонормирован, коэффициент x*e_i обычно не равен координате. Вторая ошибка - забыть, что набор должен быть полным: для двух ортонормированных векторов в R^3 сумма даст проекцию на плоскость, а не исходный вектор целиком. Третья ошибка - перепутать x*e_i с e_i*x в комплексном случае, где важно соглашение о сопряжении. Еще одна ошибка - не проверять длины e_i перед использованием формулы.

Практика

Задачи с решением

Найти координаты

Условие. В стандартном базисе R^3 найдите разложение x=(2,-1,5).

Решение. Стандартный базис ортонормирован. Координаты равны скалярным произведениям с e1,e2,e3: 2, -1, 5.

Ответ. x=2e1-e2+5e3.

Разложить в повернутом базисе

Условие. Для e1=(1/sqrt(2),1/sqrt(2)), e2=(1/sqrt(2),-1/sqrt(2)) и x=(1,3) найдите координаты.

Решение. x*e1=4/sqrt(2)=2sqrt(2), x*e2=(1-3)/sqrt(2)=-sqrt(2).

Ответ. [x]_B=(2sqrt(2), -sqrt(2)).

Дополнительные источники

MIT OpenCourseWare 18.06SC, Orthogonal Matrices and Gram-Schmidt
Jim Hefferon, Linear Algebra, Orthonormal Bases
Interactive Linear Algebra, Margalit and Rabinoff, Orthogonality

Связанные формулы

Математика

Координаты вектора в базисе

$v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,\quad [v]_B=(x_1,\ldots,x_n)^T$

Координаты вектора в базисе - это коэффициенты единственного разложения вектора по базисным векторам. Сам вектор не меняется, меняется только числовая запись относительно выбранного базиса.

Математика

Ортонормированный базис

$e_i\cdot e_j=\delta_{ij}$

Базис называется ортонормированным, если его векторы имеют длину 1 и попарно ортогональны. Краткая запись e_i*e_j=delta_ij объединяет оба условия в одной формуле.

Математика

Ортогональная проекция на подпространство с ортонормированным базисом

$\operatorname{proj}_{W}x=\sum_{i=1}^{k}(x\cdot q_i)q_i$

Если q_1,...,q_k образуют ортонормированный базис подпространства W, то проекция x на W равна сумме его компонент вдоль этих базисных направлений.

Математика

Матрица базиса и стандартные координаты

$v=P_B[v]_B,\quad P_B=[e_1\ \cdots\ e_n]$

Матрица базиса переводит координатный столбец в выбранном базисе в стандартные координаты. Ее столбцы - это сами базисные векторы, записанные в стандартной системе.