Матрицы, определители

$\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}$

$a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$

$\cos\varphi=\frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}$

$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$

$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

$x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$

$\operatorname{rank}A=\max\{r:\text{существует ненулевой минор порядка }r\}$

$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$

$p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$

$Ax=b$

$\left[A\mid b\right]$

$R_i\leftrightarrow R_j,\quad R_i\leftarrow cR_i\ (c\ne0),\quad R_i\leftarrow R_i+cR_j$

$R_i\leftarrow R_i-\frac{a_{ik}}{a_{kk}}R_k$

$x_i=\frac{b'_i-\sum_{j=i+1}^{n}u_{ij}x_j}{u_{ii}}$

$p_1<p_2<\dots<p_r,\quad a_{ij}=0\ \text{ниже ведущих элементов}$

$\operatorname{rref}(A)$

$\left[A\mid b\right]\sim\left[I\mid x\right]$

$\operatorname{rank}[A\mid b]$

$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]$

$\operatorname{rank}A<\operatorname{rank}[A\mid b]$

$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]=n$

$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]<n$

$k=n-\operatorname{rank}A$

$x=x_p+t_1v_1+\cdots+t_kv_k$

$\dim\ker A=n-\operatorname{rank}A$

$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$

$\operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\}$

$\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{Im}T$

$\operatorname{def}T=\dim\ker T$

$\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T$

$T\text{ injective}\iff\ker T=\{0\}$

$T\text{ surjective}\iff\operatorname{Im}T=W$

$\dim\ker A=n-r,\quad \dim\operatorname{Im}A=r$

$B=(e_1,\ldots,e_n),\quad V=\operatorname{span}B,\quad e_1,\ldots,e_n\ \text{линейно независимы}$

$v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n,\quad [v]_B=(x_1,\ldots,x_n)^T$

$\dim V=n\quad\Longleftrightarrow\quad \text{любой базис }V\text{ содержит }n\text{ векторов}$

$A=[v_1\ \cdots\ v_n],\quad v_1,\ldots,v_n\text{ - базис }\mathbb R^n\Longleftrightarrow \det A\ne0$

$v=P_B[v]_B,\quad P_B=[e_1\ \cdots\ e_n]$

$[v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B$

$[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$

$L\text{ независим},\ G\text{ порождает }V\quad\Rightarrow\quad |L|\le |G|$

$T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$

$T(x)=Ax,\quad A=\big[T(e_1)\ \cdots\ T(e_n)\big]$

$A e_j=a_j=T(e_j)$

$[T(v)]_C=A_{C\leftarrow B}[v]_B,\quad A_{C\leftarrow B}=\big[[T(b_1)]_C\ \cdots\ [T(b_n)]_C\big]$

$[S\circ T]=[S][T]$

$\operatorname{Id}_V(v)=v,\quad [\operatorname{Id}_V]_{B\leftarrow B}=I_n$

$T^{-1}\text{ существует }\Longleftrightarrow A^{-1}\text{ существует},\quad [T^{-1}]=A^{-1}$

$T:V\to V,\quad [T]_B=A\in M_n(F),\quad [T(v)]_B=A[v]_B$

$f(v)=r[v]_B,\quad r=\big(f(b_1),\ldots,f(b_n)\big)$

$Av=\lambda v,\quad v\ne0$

$\det(A-\lambda I)=0$

$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$

$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$

$p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k q(\lambda),\quad q(\lambda_0)\ne0$

$g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$

$\sigma(A)=\{\lambda:\det(A-\lambda I)=0\}$

$\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}(A)$