Математика / Матрицы, определители

Недиагонализируемая матрица с жордановым блоком

Жорданов блок 2x2 с единицей над диагональю имеет одно собственное значение lambda алгебраической кратности 2, но только одно независимое собственное направление. Поэтому он не диагонализируем.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

J=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix},\quad \dim E_\lambda=1<2

jordan-block-shear Жорданов блок: масштабирование плюс сдвиг

Схема показывает одну собственную прямую и сдвиг соседних векторов вдоль нее.

Единица над диагональю означает нехватку обычных собственных направлений.

Обозначения

$J$: жорданов блок размера 2, матрица 2 x 2
$\lambda$: повторное собственное значение, число
$E_\lambda$: собственное пространство для lambda, подпространство
$\dim E_\lambda$: геометрическая кратность, число

Условия применения

Речь идет о матрице или блоке вида [[lambda,1],[0,lambda]].
Поле должно содержать lambda.
Для диагонализации матрицы 2 x 2 требуются два независимых собственных вектора.

Ограничения

Не всякая матрица с повторным собственным значением недиагонализируема; проблема именно в нехватке собственных векторов.
Жорданов блок является модельным примером; большие недиагонализируемые матрицы могут иметь несколько блоков.
В базовом курсе обычно достаточно понять дефект, а полная жорданова форма изучается отдельно.

Подробное объяснение

Жорданов блок показывает, почему характеристического многочлена недостаточно для диагонализации. У J есть повторное собственное значение lambda, и характеристический многочлен полностью раскладывается. Но собственное пространство E_lambda одномерно. Алгебраическая кратность равна 2, а геометрическая - 1.

Если бы J была диагонализируема, существовал бы базис из двух собственных векторов. Но все собственные векторы лежат на одной прямой span{(1,0)^T}. Из одной прямой невозможно выбрать два независимых вектора. Поэтому никакая матрица P из собственных векторов не будет обратимой.

Геометрически блок действует не только как умножение на lambda. Для вектора (x,y) получаем J(x,y)=(lambda x+y, lambda y). Вторая координата масштабируется, а первая получает дополнительный вклад y. Этот сдвиг нельзя убрать выбором обычного собственного базиса. В жордановой форме он остается как единица над диагональю.

Такой пример важен перед изучением критериев диагонализируемости. Он показывает, что нужно проверять геометрические кратности, а не только корни многочлена. Он также объясняет, зачем в более продвинутой линейной алгебре появляются обобщенные собственные векторы и жордановы цепочки.

Как пользоваться формулой

Найдите характеристический многочлен и алгебраическую кратность lambda.
Составьте J-lambda I.
Найдите ядро и его размерность.
Сравните геометрическую кратность с размером блока.
Если размерность меньше нужной, сделайте вывод о недиагонализируемости.

Историческая справка

Недиагонализируемые матрицы стали понятны через развитие нормальных форм линейных подстановок. Повторные характеристические корни требовали описания случаев, когда собственных векторов недостаточно. Камиль Жордан дал каноническую форму, где такие случаи записываются блоками с собственным значением на диагонали и единицами над диагональю. Жорданов блок не является странным исключением: это базовый строительный элемент операторов, которые нельзя полностью диагонализировать. Поэтому даже в начальном курсе пример 2x2 важен как предупреждение против механического вывода по характеристическому многочлену.

В XIX веке диагонализация выросла из задач о приведении линейных преобразований и квадратичных форм к более простому виду. Смысл был не в красивой записи ради записи, а в том, чтобы заменить связанную систему координат независимыми направлениями. Позже тот же язык стал базовым для дифференциальных уравнений, механики, статистики и численных методов. Поэтому страница "Недиагонализируемая матрица с жордановым блоком" находится на границе между абстрактной алгеброй и вычислительной практикой: она объясняет, когда сложный оператор можно читать как набор независимых масштабирований.

Историческая линия формулы

Жорданов блок связан с именем Камиля Жордана и его нормальной формой. Современная учебная запись блока является частью общей теории канонических форм, основанной на развитии линейных подстановок, матриц и характеристических корней.

Камиль Жордан 1838-1922 Фердинанд Георг Фробениус 1849-1917

Пример

Пусть J=[[3,1],[0,3]]. Характеристический многочлен равен (lambda-3)^2, значит собственное значение 3 имеет алгебраическую кратность 2. Теперь найдем собственное пространство: J-3I=[[0,1],[0,0]]. Система (J-3I)v=0 дает y=0, а x свободен. Поэтому E_3=span{(1,0)^T}, его размерность равна 1. Для диагонализации матрицы 2 x 2 нужны два независимых собственных вектора, но есть только одно собственное направление. Значит J не диагонализируема. Единица над диагональю как раз показывает, что кроме масштабирования есть дополнительный сдвиг вдоль собственного направления.

Частая ошибка

Частая ошибка - видеть повторный корень (lambda-3)^2 и автоматически записывать D=diag(3,3). Это было бы возможно только при двух независимых собственных векторах. Вторая ошибка - считать, что матрица не диагонализируема из-за одного собственного значения вообще; например, 3I имеет одно собственное значение, но диагонализируема. Третья ошибка - забывать, что нулевой вектор не добавляет второго собственного направления. Еще одна ошибка - путать жорданов блок с диагональной матрицей из-за одинаковой диагонали.

Практика

Задачи с решением

Проверить блок

Условие. J=[[5,1],[0,5]]. Найдите dim E_5.

Решение. J-5I=[[0,1],[0,0]]. Условие y=0, x свободен. Собственное пространство одномерно.

Ответ. dim E_5=1.

Сравнить с диагональной матрицей

Условие. D=[[5,0],[0,5]]. Найдите dim E_5.

Решение. D-5I нулевая матрица, поэтому ядро равно всему R^2.

Ответ. dim E_5=2, D диагонализируема.

Дополнительные источники

TUDelft Interactive Linear Algebra, defective matrices
Jim Hefferon, Linear Algebra, Jordan form motivation
MIT OpenCourseWare 18.06SC, Diagonalization and repeated eigenvalues

Связанные формулы

Математика

Геометрическая кратность собственного значения

$g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$

Геометрическая кратность собственного значения - это размерность его собственного пространства. Она показывает, сколько независимых собственных направлений соответствует данному lambda.

Математика

Алгебраическая кратность собственного значения

$p_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k q(\lambda),\quad q(\lambda_0)\ne0$

Алгебраическая кратность собственного значения lambda0 - это степень, с которой множитель lambda-lambda0 входит в характеристический многочлен.

Математика

Критерий диагонализируемости через геометрические кратности

$A\text{ диагонализируема}\Longleftrightarrow \sum_{\lambda\in\sigma(A)}\dim E_\lambda=n$

Матрица n x n диагонализируема тогда и только тогда, когда сумма размерностей всех ее собственных пространств равна n. Это означает, что собственных векторов хватает на базис.

Математика

Диагонализация матрицы 2x2

$A=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}P^{-1}$

Матрица 2x2 диагонализируется, если для нее можно найти два линейно независимых собственных вектора. При двух различных собственных значениях это выполняется автоматически.