Линейная алгебра

Геометрическая кратность

Размерность собственного пространства и число независимых собственных направлений.

4 формулы

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Собственное пространство матрицы	$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$	Матрицы, определители	Собственное пространство E_lambda - это множество всех векторов, которые удовлетворяют Av=lambda v, вместе с нулевым вектором. Оно равно ядру матрицы A-lambda I.
Геометрическая кратность собственного значения	$g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$	Матрицы, определители	Геометрическая кратность собственного значения - это размерность его собственного пространства. Она показывает, сколько независимых собственных направлений соответствует данному lambda.
Критерий диагонализируемости через геометрические кратности	$A\text{ диагонализируема}\Longleftrightarrow \sum_{\lambda\in\sigma(A)}\dim E_\lambda=n$	Матрицы, определители	Матрица n x n диагонализируема тогда и только тогда, когда сумма размерностей всех ее собственных пространств равна n. Это означает, что собственных векторов хватает на базис.
Недиагонализируемая матрица с жордановым блоком	$J=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix},\quad \dim E_\lambda=1<2$	Матрицы, определители	Жорданов блок 2x2 с единицей над диагональю имеет одно собственное значение lambda алгебраической кратности 2, но только одно независимое собственное направление. Поэтому он не диагонализируем.