Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Геометрическая кратность собственного значения

Геометрическая кратность собственного значения - это размерность его собственного пространства. Она показывает, сколько независимых собственных направлений соответствует данному lambda.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраСобственные значения и векторыГеометрическая кратностьСобственное пространствоЯдро отображения

Формула

$$g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$$
geometric-multiplicity Размерность собственного пространства

Схема сравнивает собственную прямую и собственную плоскость как кратности 1 и 2.

Геометрическая кратность считает независимые направления, а не количество записанных векторов.

Обозначения

$g(\lambda)$
геометрическая кратность собственного значения lambda, целое число
$E_\lambda$
собственное пространство для lambda, подпространство
$\ker(A-\lambda I)$
ядро матрицы A-lambda I, подпространство
$\dim$
размерность пространства, число независимых направлений

Условия применения

  • lambda должно быть собственным значением A.
  • Матрица A должна быть квадратной, а собственное пространство находят как ядро A-lambda I.
  • Размерность считается по числу векторов в базисе собственного пространства.

Ограничения

  • Геометрическая кратность всегда не меньше 1 для собственного значения, но может быть меньше алгебраической кратности.
  • Она не читается напрямую из характеристического многочлена; нужно решать систему.
  • Если сумма геометрических кратностей меньше n, базиса из собственных векторов нет.

Подробное объяснение

Геометрическая кратность отвечает на вопрос, сколько независимых собственных направлений есть у собственного значения. Она равна размерности E_lambda, а E_lambda равно ядру A-lambda I. Поэтому вычисление геометрической кратности сводится к привычной задаче: найти размерность ядра однородной системы.

Если lambda является собственным значением, то A-lambda I вырождена, и ядро ненулевое. Поэтому геометрическая кратность не меньше 1. С другой стороны, она не может превышать алгебраическую кратность. Если корень характеристического многочлена простой, обе кратности равны 1. Если корень повторный, возможны разные случаи.

Для диагонализации важна сумма геометрических кратностей. Матрица n x n диагонализуема тогда, когда можно найти n линейно независимых собственных векторов. Это означает, что для каждого собственного значения геометрическая кратность должна совпасть с алгебраической, а вместе они должны дать n направлений.

Геометрическая кратность имеет наглядный смысл. Если E_lambda - прямая, то есть одно независимое направление. Если плоскость, то два. Если все пространство, то оператор на этом пространстве действует как умножение на lambda. Именно эта геометрическая картина объясняет название кратности.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите собственное значение lambda.
  2. Составьте A-lambda I.
  3. Решите систему (A-lambda I)v=0.
  4. Найдите базис пространства решений.
  5. Посчитайте число векторов в этом базисе: это геометрическая кратность.

Историческая справка

Различие между алгебраической и геометрической кратностью стало важным, когда математики поняли, что повторяющиеся корни характеристического многочлена не всегда дают столько же независимых собственных векторов. В ранних задачах часто было достаточно найти характеристические корни, но для полного описания оператора требовалась информация о собственных пространствах. В XIX веке развитие нормальных форм, особенно работ Камиля Жордана, показало, как устроены операторы с недостатком собственных векторов. Поэтому геометрическая кратность является не технической добавкой, а ключом к пониманию диагонализации и жордановой формы. В учебном курсе именно она объясняет, почему один повторный корень может вести себя по-разному в разных матрицах.

Историческая линия формулы

Геометрическая кратность как dim ker(A-lambda I) является современной учебной формулировкой. Исторически она связана с развитием собственных пространств, нормальных форм и теории линейных подстановок; особенно уместна связь с Камилем Жорданом и матричной традицией XIX века.

Камиль Жордан 1838-1922Огюстен Луи Коши 1789-1857Артур Кэли 1821-1895Фердинанд Георг Фробениус 1849-1917

Пример

Пусть A=[[3,1],[0,3]]. Характеристический многочлен равен (lambda-3)^2, поэтому алгебраическая кратность lambda=3 равна 2. Теперь считаем геометрическую кратность. A-3I=[[0,1],[0,0]], система (A-3I)v=0 дает y=0, x свободен. Собственное пространство E_3=span{(1,0)^T}, его размерность равна 1. Значит геометрическая кратность lambda=3 равна 1. Матрица имеет повторное собственное значение, но только одно независимое собственное направление, поэтому она не диагонализуема. Этот пример показывает, зачем различать две кратности.

Частая ошибка

Частая ошибка - приравнивать геометрическую кратность к степени корня характеристического многочлена. Это верно не всегда и требует проверки. Вторая ошибка - считать количество найденных ненулевых собственных векторов, а не размерность их линейной оболочки: бесконечно много кратных векторов могут давать одно направление. Третья ошибка - забывать, что геометрическая кратность считается отдельно для каждого собственного значения.

Практика

Задачи с решением

Геометрическая кратность диагональной матрицы

Условие. A=diag(2,2,5). Найдите геометрическую кратность lambda=2.

Решение. A-2I=diag(0,0,3). Система дает z=0, x и y свободны. E_2=span{(1,0,0),(0,1,0)}.

Ответ. Геометрическая кратность равна 2.

Сравнить две кратности

Условие. Для lambda=4 известно, что p_A(lambda) содержит (lambda-4)^3, а dim E_4=2. Что можно сказать?

Решение. Алгебраическая кратность равна 3, геометрическая - 2. Собственных направлений меньше, чем кратность корня.

Ответ. Для этого lambda есть дефект 1; такая часть мешает диагонализации.

Дополнительные источники

  • TUDelft Interactive Linear Algebra, algebraic and geometric multiplicity
  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, Eigenvalues and Eigenvectors
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, eigenspaces and multiplicity

Связанные формулы

Математика

Собственное пространство матрицы

$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$

Собственное пространство E_lambda - это множество всех векторов, которые удовлетворяют Av=lambda v, вместе с нулевым вектором. Оно равно ядру матрицы A-lambda I.

Математика

Размерность векторного пространства

$\dim V=n\quad\Longleftrightarrow\quad \text{любой базис }V\text{ содержит }n\text{ векторов}$

Размерность конечномерного векторного пространства - это число векторов в любом его базисе. Она показывает, сколько независимых направлений нужно для описания всех элементов пространства.

Математика

Ядро линейного отображения

$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$

Ядро линейного отображения - это множество всех векторов, которые переходят в нулевой вектор. По ядру сразу видно, теряет ли отображение информацию и может ли оно быть инъективным.