Линейная алгебра

Ядро отображения

Однородные системы, направления, переходящие в ноль, дефект и критерии инъективности.

8 формул

Таблица формул

Формула	Запись	Тема	Для чего нужна
Ядро линейного отображения	$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$	Матрицы, определители	Ядро линейного отображения - это множество всех векторов, которые переходят в нулевой вектор. По ядру сразу видно, теряет ли отображение информацию и может ли оно быть инъективным.
Дефект линейного отображения	$\operatorname{def}T=\dim\ker T$	Матрицы, определители	Дефект линейного отображения равен размерности его ядра. Он показывает, сколько независимых входных направлений отображение переводит в ноль.
Теорема о ранге и дефекте	$\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T$	Матрицы, определители	Теорема о ранге и дефекте говорит, что размерность исходного пространства равна сумме размерности образа и размерности ядра линейного отображения.
Критерий инъективности линейного отображения через ядро	$T\text{ injective}\iff\ker T=\{0\}$	Матрицы, определители	Линейное отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро состоит только из нулевого вектора. Ненулевое ядро означает потерю различимости входов.
Размерности ядра и образа матрицы	$\dim\ker A=n-r,\quad \dim\operatorname{Im}A=r$	Матрицы, определители	Если матрица A имеет n столбцов и ранг r, то размерность ее ядра равна n-r, а размерность образа равна r. Это матричная форма теоремы о ранге и дефекте.
Линейный функционал как строка матрицы	$f(v)=r[v]_B,\quad r=\big(f(b_1),\ldots,f(b_n)\big)$	Матрицы, определители	Линейный функционал - это линейное отображение из пространства в поле скаляров. В выбранном базисе он записывается одной строкой, которая умножается на координатный столбец.
Собственное пространство матрицы	$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$	Матрицы, определители	Собственное пространство E_lambda - это множество всех векторов, которые удовлетворяют Av=lambda v, вместе с нулевым вектором. Оно равно ядру матрицы A-lambda I.
Геометрическая кратность собственного значения	$g(\lambda)=\dim E_\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)$	Матрицы, определители	Геометрическая кратность собственного значения - это размерность его собственного пространства. Она показывает, сколько независимых собственных направлений соответствует данному lambda.