Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Линейный функционал как строка матрицы

Линейный функционал - это линейное отображение из пространства в поле скаляров. В выбранном базисе он записывается одной строкой, которая умножается на координатный столбец.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраЛинейные отображенияМатрицыЯдро отображения

Формула

$$f(v)=r[v]_B,\quad r=\big(f(b_1),\ldots,f(b_n)\big)$$
functional-hyperplane Функционал превращает вектор в число

Схема показывает строку r, координатный столбец v и гиперплоскость f(v)=0 как ядро функционала.

Одна строка матрицы - это один линейный функционал.

Обозначения

$f$
линейный функционал V -> F, отображение в поле скаляров
$r$
строка координат функционала в базисе B, строка 1 x n
$[v]_B$
координатный столбец вектора v, столбец n x 1
$f(b_j)$
значение функционала на j-м базисном векторе, скаляр

Условия применения

  • Функционал f должен быть линейным.
  • Базис B пространства V должен быть зафиксирован.
  • Поле значений функционала совпадает с полем скаляров пространства V.

Ограничения

  • Строка r зависит от выбранного базиса; при смене базиса координаты функционала меняются.
  • Не всякая числовая функция на векторах линейна: нормы, длины и квадратичные формы не являются линейными функционалами.
  • В евклидовом пространстве функционал часто записывают через скалярное произведение, но это использует дополнительную структуру, которой в общем векторном пространстве может не быть.

Подробное объяснение

Линейный функционал - это самый компактный вид линейного отображения: его выход имеет одну координату. Если V имеет базис B=(b1,...,bn), то любой v раскладывается как v=x1b1+...+xnbn. Линейность дает f(v)=x1f(b1)+...+xnf(bn). Если значения f(b_j) записать в строку r, а координаты x_j - в столбец [v]_B, то формула становится обычным произведением строки на столбец.

Эта точка зрения объясняет строки любой матрицы. Если A имеет строки r1,...,rm, то i-я координата Ax равна r_i x. Значит каждая строка матрицы является линейным функционалом на входном пространстве, а вся матрица собирает несколько функционалов в одно отображение.

Геометрически уравнение f(v)=0 задает ядро функционала. Если f не нулевой, это гиперплоскость: прямая в R^2, плоскость в R^3, подпространство размерности n-1 в R^n. Поэтому линейные функционалы естественно появляются в линейных ограничениях, уравнениях подпространств и задачах оптимизации.

В пространствах со скалярным произведением каждый линейный функционал можно представить как f(v)=<v,a> для некоторого a, но это дополнительный результат, зависящий от выбранного внутреннего произведения. На базовом уровне достаточно помнить: функционал - это линейная строка, которая превращает координатный столбец в одно число.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте линейность функции f.
  2. Зафиксируйте базис B пространства V.
  3. Вычислите значения f(b1), ..., f(bn).
  4. Запишите эти значения строкой r.
  5. Для любого v умножайте r на координатный столбец [v]_B.

Историческая справка

Линейные функционалы стали явно важны вместе с развитием двойственных пространств, линейных форм, аналитической геометрии и функционального анализа. В более ранней алгебраической практике они появлялись как линейные уравнения и строки систем: выражение a1x1+...+anxn задает число и одновременно описывает гиперплоскость a1x1+...+anxn=0. Позднее абстрактная линейная алгебра отделила функционалы как элементы двойственного пространства V*. Эта идея помогает читать строки матрицы не как технические наборы коэффициентов, а как отдельные линейные измерения входного вектора. Так строка системы, уравнение подпространства и функционал оказываются разными описаниями одной идеи.

Историческая линия формулы

У записи функционала строкой нет одного автора. Ее полезно связывать с историей линейных форм, систем уравнений, двойственного пространства и матричной записи. В рамках текущего раздела уместны Грассман и Пеано как линия абстрактных пространств, а также Кэли и Сильвестр как линия матричного языка.

Герман Грассман 1809-1877Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897

Пример

В стандартном базисе R^3 функционал f(x,y,z)=2x-y+4z задается строкой r=(2,-1,4). Для v=(3,5,-2)^T получаем f(v)=r v=2*3-1*5+4*(-2)=6-5-8=-7. Строку можно читать как матрицу размера 1 x 3, то есть как линейное отображение R^3 -> R. Если записать условие f(v)=0, получится плоскость 2x-y+4z=0, проходящая через начало координат. Если изменить базис пространства, сама функция f останется той же, но строка ее координат изменится, потому что изменится координатная запись входного вектора. Поэтому строка всегда должна читаться вместе с базисом.

Частая ошибка

Частая ошибка - путать линейный функционал с произвольной функцией, которая возвращает число. Например, длина вектора тоже число, но ||u+v|| обычно не равна ||u||+||v||, поэтому норма не функционал. Вторая ошибка - считать строку r вектором того же типа, что и v, без учета двойственного пространства. В стандартном евклидовом пространстве их можно связать через скалярное произведение, но в общей линейной алгебре функционалы живут в двойственном пространстве. Еще одна ошибка - забывать, что строки матрицы A являются функционалами, выдающими координаты Ax.

Практика

Задачи с решением

Записать функционал строкой

Условие. В R^2 дан f(x,y)=3x-2y. Найдите строку функционала и f(4,5).

Решение. В стандартном базисе r=(3,-2). Тогда f(4,5)=3*4-2*5=12-10=2.

Ответ. r=(3,-2), f(4,5)=2.

Найти ядро функционала

Условие. Для f(x,y,z)=x+2y-z запишите уравнение ker f.

Решение. Ядро состоит из всех векторов, для которых f=0. Поэтому x+2y-z=0.

Ответ. ker f: x+2y-z=0.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, linear transformations and matrix rows
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, linear functionals
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, linear maps to the field

Связанные формулы

Математика

Ядро линейного отображения

$\ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\}$

Ядро линейного отображения - это множество всех векторов, которые переходят в нулевой вектор. По ядру сразу видно, теряет ли отображение информацию и может ли оно быть инъективным.

Математика

Столбцы матрицы линейного отображения

$A e_j=a_j=T(e_j)$

j-й столбец матрицы линейного отображения равен образу j-го базисного вектора. Это позволяет читать действие отображения прямо по столбцам матрицы.

Математика

Скалярное произведение векторов

$a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$

Скалярное произведение складывает попарные произведения координат двух векторов и дает число. Через него находят длину, угол между векторами, ортогональность и проекции.